PDF-версии: 
Дана правильная четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что плоскости AD1C и BB1D1 перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от точки B1 до плоскости AD1C, если AB = 5 и AA1 = 6.
Решение. а) Заметим, что диагонали
б) Пусть точка О — центр основания. Из точки B1 на прямую D1O опустим перпендикуляр B1H. Из п. а) следует, что отрезок B1H перпендикулярен диагонали AC, поэтому отрезок B1H перпендикулярен плоскости AD1C и его длина является искомым расстоянием. Заметим, что треугольники B1HD1 и DD1O подобны, следовательно:
Тогда 
откуда находим, что
Ответ: б) 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
а) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке B так, как показано на рисунке. Пусть 
Запишем необходимые координаты:
Составим уравнение плоскости AD1C в виде 
:
Подставим значения A и B во второе уравнение системы, получим
Теперь можем записать уравнение плоскости:
откуда вектор нормали 
Составим аналогичным способом уравнение плоскости BB1D1:
откуда
следовательно, вектор нормали 
Найдём скалярное поизведение:
что означает, что вектор 
перпендикулярен вектору 
Следовательно, плоскости (AD1C) и (BB1D1) перпендикулярны.
б) Координаты точки 
плоскость AD1C задаётся уравнением 
её вектор нормали 
Найдём расстояние между точкой 
и плоскостью 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |