В трапеции АВCD с основаниями BC и AD угол ABC прямой. Прямая, перпендикулярная стороне CD, пересекает сторону AB в точке M, а сторону CD — в точке N, DH — перпендикуляр, проведенный из точки D к прямой MC.
а) Докажите, что расстояние от точки А до прямой ВN равно 
б) Найдите отношение боковых сторон трапеции, если 
и 
а) Заметим, что четырехугольник MBCN вписан в окружность с диаметром MC. По теореме синусов,
Углы ABN и MCN равны как вписанные. Тогда
Пусть x — расстояние от A до BN. Тогда
Что и требовалось доказать.
б) Из пункта а) следует, что 
Поскольку 
получаем: 
Ответ: б) 
Приведем решение Ирины Шраго.
а) Заметим, что четырехугольник MBCN вписан в окружность с диаметром MC, тогда 
Четырехугольник AMND вписан в окружность с диаметром MD, тогда 
Следовательно, треугольники ABN и DCM подобны по двум углам, и отношение их высот равно отношению сторон, к которым эти высоты проведены.
Пусть K — основание перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую BN, тогда
Из первого равенства получим 
что и требовалось доказать.
б) По доказанному в пункте а)
