Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что че­ты­рех­уголь­ник MBCN впи­сан в окруж­ность с диа­мет­ром MC. По тео­ре­ме си­ну­сов,

Углы ABN и MCN равны как впи­сан­ные. Тогда

Пусть x  — рас­сто­я­ние от A до BN. Тогда

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Из пунк­та а) сле­ду­ет, что По­сколь­ку по­лу­ча­ем:

Ответ: б)

При­ве­дем ре­ше­ние Ирины Шраго.

а)  За­ме­тим, что че­ты­рех­уголь­ник MBCN впи­сан в окруж­ность с диа­мет­ром MC, тогда Че­ты­рех­уголь­ник AMND впи­сан в окруж­ность с диа­мет­ром MD, тогда Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки ABN и DCM по­доб­ны по двум углам, и от­но­ше­ние их высот равно от­но­ше­нию сто­рон, к ко­то­рым эти вы­со­ты про­ве­де­ны.

Пусть K  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из точки A на пря­мую BN, тогда

Из пер­во­го ра­вен­ства по­лу­чим что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  По до­ка­зан­но­му в пунк­те а)