Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
SMNK — правильный тетраэдр. На ребре SK отмечена точка Р такая, что КР : PS = 1 : 3, точка L — середина ребра MN.
а) Докажите, что плоскости SLK и MPN перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка PL, если длина ребра MN равна 4.
Решение.
Спрятать критерии
а) Заметим, что плоскость SKL перпендикулярна прямой MN, в этой плоскости из точки S опустим перпендикуляр SH на прямую PL. Таким образом, прямые SH и PL, а также SH и MN перпендикулярны между собой. Следовательно, прямая SH перпендикулярна плоскости MPN, и по признаку перпендикулярности плоскостей плоскость SLK перпендикулярна плоскости MPN.
б) Пусть точка O — центр основания. Тогда
Следовательно,
Ответ: б) PL = 3.
Методы геометрии: Теорема косинусов
Классификатор стереометрии: Перпендикулярность плоскостей, Правильный тетраэдр