PDF-версии: 
SMNK — правильный тетраэдр. На ребре SK отмечена точка Р такая, что КР : PS = 1 : 3, точка L — середина ребра MN.
а) Докажите, что плоскости SLK и MPN перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка PL, если длина ребра MN равна 4.
Решение. а) Заметим, что плоскость SKL перпендикулярна прямой MN, в этой плоскости из точки S опустим перпендикуляр SH на прямую PL. Таким образом, прямые SH и PL, а также SH и MN перпендикулярны между собой. Следовательно, прямая SH перпендикулярна плоскости MPN, и по признаку перпендикулярности плоскостей плоскость SLK перпендикулярна плоскости MPN.
б) Пусть точка O — центр основания. Тогда
Следовательно,
Ответ: б) PL = 3.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |