PDF-версии: 
В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Известно, что около четырехугольника AMNC можно описать окружность.
а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.
б) На стороне AС отмечена точка F, такая что 
Отрезок BF пересекает отрезок MN в точке E. Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника AMNC, если 
и 
Решение. a) Отрезок MN — средняя линия треугольника ABC, значит, прямые AC и MN параллельны, а четырёхугольник AMNC является трапецией
Поскольку окружность можно описать только около равнобедренной трапеции, 
то есть 
а значит, треугольник ABC равнобедренный.
б) Пусть точка O — центр окружности, описанной около трапеции AMNC, точка H — основание высоты BH треугольника ABC, а точка D — середина отрезка NC. Угол EFC равен 45°, значит, расстояние между прямыми AC и MN равно 
Поскольку отрезок MN — средняя линия треугольника ABC, он делит высоту BH пополам, значит, 
Треугольник ABC равнобедренный, поэтому
В прямоугольном треугольнике BCH угол C равен 30°, значит,
Центр описанной около многоугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к каждой из его сторон, следовательно, 
точка H лежит на прямой BO, а NO — радиус окружности, описанной около четырёхугольника AMNC.
В прямоугольном треугольнике BDO угол OBD равен 60°, откуда находим
Из прямоугольного треугольника NDO находим
Ответ: б) 
Приведем решение пункта б) Ирины Шраго.
Пусть точка O — центр окружности, описанной около трапеции AMNC, точка H — основание высоты BH треугольника ABC. Треугольник ABC равнобедренный, тогда
следовательно, градусная мера дуги MNC составляет 60°, центральный угол MOC равен 60°, треугольник MOC равносторонний, значит, MC — искомый радиус окружности.
Прямая MN параллельна AC, M — середина AB, тогда по теореме Фалеса EF = BE, следовательно, 
∠AFB = 135°, тогда ∠BFH = 45° и 
Из прямоугольного треугольника ABH с углом 30° получим AB = 2BH = 24, тогда BM = 12.
По доказанному в пункте а) BC = AB, тогда по теореме косинусов для треугольника MBC получим:
следовательно, 
| Содержание критерия | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 3 |
| Максимальный балл | 3 |