PDF-версии: 
Точка O — точка пересечения диагоналей грани CDD1C1 куба ABCDA1B1C1D1. Плоскость DA1C1 пересекает диагональ BD1 в точке F.
а) Докажите, что 
б) Точки M и N — середины ребер AB и AA1, соответственно. Найдите угол между прямой MN и плоскостью DA1C1.
Решение. a) Плоскость DA1C1 пересекает плоскость BCD1 по прямой A1O, значит, точка F — это точка пересечения отрезков BD1 и A1O. Прямые BA1 и CD1 параллельны, значит, треугольники D1FO и BFA1 подобны с коэффициентом подобия
Получаем, что
б) Прямая CD1 является проекцией прямой BD1 на плоскость CDD1, a прямые CD1 и DC1 перпендикулярны, значит, по теореме о трёх перпендикулярах прямая BD1 перпендикулярна прямой DC1. Аналогично получаем, что прямая BD1 перпендикулярна прямой A1C1. Значит, прямая BD1 перпендикулярна плоскости DA1C1.
Отрезок MN — средняя линия треугольника ABA1, значит, он параллелен отрезку BA1. Угол между прямой MN и плоскостью DA1C1 равен углу между прямой BA1 и плоскостью DA1C1. Точка F — проекция точки B на плоскость DA1C1, следовательно, искомый угол равен углу BA1F. B прямоугольном треугольнике BA1D1 тангенс угла A1BD1 равен
В прямоугольном треугольнике BA1F угол BA1F равен
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |