Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 630166
i

На сто­ро­не остро­го угла с вер­ши­ной A от­ме­че­на точка B. Из точки B на бис­сек­три­су и дру­гую сто­ро­ну угла опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры BC и BD со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что AC в квад­ра­те плюс CD в квад­ра­те =AD в квад­ра­те плюс DB в квад­ра­те .

б)  Пря­мые AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке T най­ди­те от­но­ше­ние AT:TC, если ко­си­нус \angle ABC = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  До­ка­жем, что BC = CD. Тогда AC в квад­ра­те плюс CD в квад­ра­те = AC в квад­ра­те плюс BC в квад­ра­те = AB в квад­ра­те по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ABC и AD в квад­ра­те плюс BD в квад­ра­те = AB в квад­ра­те по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ABD.

Так как \angle ACB = \angle ADB = 90 гра­ду­сов, точки A, B, C, D лежат на одной окруж­но­сти. Из ра­вен­ства углов BAC и CAD сле­ду­ет ра­вен­ство дуг, на ко­то­рые они опи­ра­ют­ся. Рав­ные дуги стя­ги­ва­ют­ся рав­ны­ми хор­да­ми BC и CD, что и тре­бо­ва­лось.

б)  От­ме­тим, что \angle BAC = \angle DBC , как опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу. Из усло­вия сле­ду­ет, что

\ctg \angle ABC = 1 : тан­генс \angle ABC =1 : ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­си­нус в квад­ра­те \angle ABC конец ар­гу­мен­та минус 1 = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 45 конец ар­гу­мен­та .

Из тре­уголь­ни­ка ABC на­хо­дим BC = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 45 конец ар­гу­мен­та AC. Из тре­уголь­ни­ка BTC на­хо­дим CT = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 45 конец ар­гу­мен­та BC = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: конец дроби 45AC, от­ку­да и сле­ду­ет ответ.

 

Ответ: б) 41 : 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 630130: 630166 Все

Источники:
Методы геометрии: Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}, Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра, Три­го­но­мет­рия в гео­мет­рии
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025