ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 630162 Добавить в вариант

а)  Решите уравнение $2 синус 2x плюс 2 синус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 2 косинус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс 1=0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

а)  Используя нечетность синуса, четность косинуса и формулу двойного угла, разложим на множители:

$2 синус 2x плюс 2 синус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 2 косинус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс 1=0 равносильно 2 синус 2x минус 2 синус x минус 2 косинус x плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус x косинус x минус 2 синус x минус 2 косинус x плюс 1 = 0 равносильно 2 синус x левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений 2 косинус x минус 1 = 0,2 синус x минус 1 = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 косинус x = 1,2 синус x = 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 синус 2x плюс 2 синус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 2 косинус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс 1=0 равносильно 2 синус 2x минус 2 синус x минус 2 косинус x плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус x косинус x минус 2 синус x минус 2 косинус x плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус x левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений 2 косинус x минус 1 = 0,2 синус x минус 1 = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 косинус x = 1,2 синус x = 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 синус 2x плюс 2 синус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 2 косинус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс 1=0 равносильно$
$равносильно 2 синус 2x минус 2 синус x минус 2 косинус x плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус x косинус x минус 2 синус x минус 2 косинус x плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус x левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 косинус x минус 1 = 0,2 синус x минус 1 = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2 косинус x = 1,2 синус x = 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 синус 2x плюс 2 синус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 2 косинус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс 1=0 равносильно$
$равносильно 2 синус 2x минус 2 синус x минус 2 косинус x плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус x косинус x минус 2 синус x минус 2 косинус x плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус x левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений 2 косинус x минус 1 = 0,2 синус x минус 1 = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 косинус x = 1,2 синус x = 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 синус 2x плюс 2 синус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 2 косинус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс 1=0 равносильно$
$равносильно 2 синус 2x минус 2 синус x минус 2 косинус x плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус x косинус x минус 2 синус x минус 2 косинус x плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус x левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 косинус x минус 1 = 0,2 синус x минус 1 = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2 косинус x = 1,2 синус x = 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$ Отберем корни первой серии:

$минус 4 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 24 Пи меньше или равно 2 Пи плюс 12 Пи k меньше или равно минус 15 Пи равносильно минус 26 меньше или равно 12k меньше или равно минус 17 равносильно k = минус 2.$ $минус 4 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 24 Пи меньше или равно 2 Пи плюс 12 Пи k меньше или равно минус 15 Пи равносильно$
$равносильно минус 26 меньше или равно 12k меньше или равно минус 17 равносильно k = минус 2.$ $минус 4 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно минус 24 Пи меньше или равно 2 Пи плюс 12 Пи k меньше или равно минус 15 Пи равносильно$
$равносильно минус 26 меньше или равно 12k меньше или равно минус 17 равносильно k = минус 2.$

При k  =  −2 получаем: $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k = минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Отберем корни второй серии:

$минус 4 Пи меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 24 Пи меньше или равно 10 Пи плюс 12 Пи k меньше или равно минус 15 Пи равносильно минус 34 меньше или равно 12k меньше или равно минус 25$   — нет целых значений k.

Отберем корни третьей серии:

$минус 4 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи }6 плюс 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: {, знаменатель: 5 конец дроби Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 24 Пи меньше или равно Пи плюс 12 Пи k меньше или равно минус 15 Пи равносильно минус 25 меньше или равно 12k меньше или равно минус 16 равносильно k = минус 2.$ $минус 4 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи }6 плюс 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: {, знаменатель: 5 конец дроби Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 24 Пи меньше или равно Пи плюс 12 Пи k меньше или равно минус 15 Пи равносильно$
$равносильно минус 25 меньше или равно 12k меньше или равно минус 16 равносильно k = минус 2.$ $минус 4 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи }6 плюс 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: {, знаменатель: 5 конец дроби Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно минус 24 Пи меньше или равно Пи плюс 12 Пи k меньше или равно минус 15 Пи равносильно$
$равносильно минус 25 меньше или равно 12k меньше или равно минус 16 равносильно k = минус 2.$

При k  =  −2 получаем: $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k = минус дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Отберем корни четвертой серии:

$минус 4 Пи меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи }6 плюс 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: {, знаменатель: 5 конец дроби Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 24 Пи меньше или равно 5 Пи плюс 12 Пи k меньше или равно минус 15 Пи равносильно минус 29 меньше или равно 12k меньше или равно минус 20 равносильно k = минус 2.$ $минус 4 Пи меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи }6 плюс 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: {, знаменатель: 5 конец дроби Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 24 Пи меньше или равно 5 Пи плюс 12 Пи k меньше или равно минус 15 Пи равносильно$
$равносильно минус 29 меньше или равно 12k меньше или равно минус 20 равносильно k = минус 2.$ $минус 4 Пи меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи }6 плюс 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: {, знаменатель: 5 конец дроби Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно минус 24 Пи меньше или равно 5 Пи плюс 12 Пи k меньше или равно минус 15 Пи равносильно$
$равносильно минус 29 меньше или равно 12k меньше или равно минус 20 равносильно k = минус 2.$

При k  =  −2: $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k = минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i3 плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 5 Пи }3 плюс 2 Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: п конец дроби равая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 630126: 630162 630265 Все

Источники:

Задания 12 ЕГЭ–2022;

ЕГЭ  — 2022. Основная волна 02.06.2022. Вариант 402.

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Разложение на множители, Формулы приведения, периодичность тригонометрических функций

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь