Ре­ше­ние. а)  Пусть AM  =  2x, MB  =  3x, BN  =  3y, NC  =  2y. Тогда тре­уголь­ни­ки ABC и MBN по­доб­ны, и пря­мые MN и AC па­рал­лель­ны. По­сколь­ку MN  =  3t, AC  =  5t. По свой­ству опи­сан­но­го четырёхуголь­ни­ка,

тогда

От­сю­да Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть P  — точка ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­ной AC, O  — центр окруж­но­сти. Тогда пря­мые OK и MN пер­пен­ди­ку­ляр­ны, пря­мые OP и AC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, пря­мые MN и AC па­рал­лель­ны. Тогда точки K, O и P лежат на одной пря­мой, и AMKP  — пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция. Пусть AP  =  x. За­ме­тим, что

от­ку­да PC  =  8 − x. Тогда По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Из дру­гой пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции по­лу­ча­ем, что

От­сю­да тогда ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, равен 3.

Ответ: б) 3.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) Ивана Ива­но­ва.

Тре­уголь­ни­ки ABC и MBN по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия тогда тогда:

Пусть F  — точка ка­са­ния окруж­но­сти и сто­ро­ны AB, E  — точка ка­са­ния окруж­но­сти и сто­ро­ны CB, тогда
От­рез­ки BF и BE равны как от­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных из одной точки, сле­до­ва­тель­но,

По до­ка­зан­но­му в пунк­те а) Решая си­сте­му урав­не­ний, по­лу­чим AB  =  17, BC  =  15.

Для тре­уголь­ни­ка ABC вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство сле­до­ва­тель­но, он пря­мо­уголь­ный, и его пло­щадь равна С дру­гой сто­ро­ны, тогда