Различные точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S так, что отрезок AB является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°.
a) Докажите, что 
б) Найдите объем тетраэдра SABC, если 
и 
Решение. а) Пусть точка O — центр основания конуса. Тогда
следовательно, треугольник ABS равносторонний. Пусть его сторона равна a, значит,
Применим теорему косинусов к треугольникам ASC и BSC, получим:
Вписанный угол ACB опирается на диаметр, поэтому он равен 90°. Следовательно, треугольник ABC прямоугольный, и по теореме Пифагора 
Подставляя длины сторон, выраженные через a, получаем:
Это и требовалось доказать.
б) Из условий 
пользуясь предыдущим пунктом, находим: 
Найдем площадь лежащего в основании тетраэдра треугольника ABC:
Отрезок SO — высота тетраэдра — высота равностороннего треугольника ASB, откуда 
Найдём объем тетраэдра:
Ответ: б) 
Приведем другое решение.
а) Пусть O — центр основания конуса. Тогда следовательно, треугольник ABS равносторонний. По теореме косинусов
Заметим, что, поскольку угол ACB опирается на диаметр, он равен 90°. Тогда 
Тогда
б) По условию 
тогда 
откуда 
Далее,
Отрезок SO — высота тетраэдра, 
Окончательно найдём объем тетраэдра:
Ответ: б)
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
б)