РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Из трех разных цифр a, b, c, отличных от 0, всевозможными перестановками составлены 6 трехзначных чисел. Пусть их наибольший общий делитель равен d.

а)  Может ли быть d  =  6?

б)  Может ли быть d  =  7?

в)  Какое максимальное значение может иметь d? Найдите значения a, b, c, при которых d достигает максимального значения.

Решение. Сразу будем считать, что a > b > c.

а)  Да. Для цифр 2, 4, 6 все шесть чисел будут кратны 6, при этом $246=6 умножить на 41,$ $264=6 умножить на 44,$ поэтому наибольший общий делитель действительно равен 6.

б)  Нет. Если числа $\overlineabc=100a плюс 10b плюс c$ и $\overlineacb=100a плюс 10c плюс b$ кратны 7, то кратна 7 и их разность 9(b − c), поэтому b − c делится на 7. Аналогично a − c делится на 7. Но для каждой цифры найдется не более одной такой, разность с которой будет кратна 7.

в)  Для цифр 4, 6, 8 все числа получаются четными и кратными 9. Поэтому они все делятся на 18, причем $468=18 умножить на 26,$ $486=18 умножить на 27,$ тогда наибольший общий делитель равен 18.

Допустим, что $\overlineabc=100a плюс 10b плюс c$ и $\overlineacb=100a плюс 10c плюс b$ кратны x. Тогда кратна x и их разность 9(b − c). Аналогично и 9(a − b) кратно x. Если x не делится на 3, то b − c кратно x, и потому $x меньше или равно 9 минус 1=8.$ Если x делится на 3, но не на 9, то 3(a − b) и 3(b − c) кратны x, поэтому

$2x=x плюс x меньше или равно 3 левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка плюс 3 левая круглая скобка b минус c правая круглая скобка =3 левая круглая скобка a минус c правая круглая скобка меньше или равно 3 левая круглая скобка 9 минус 1 правая круглая скобка =24$

и $x меньше или равно 12.$

Пусть теперь x делится на 9, то есть x  =  9y. Тогда a − b и b − c делятся на y, при этом a + b + c делится на 9. Отсюда

$2y меньше или равно a минус b плюс b минус c=a минус c меньше или равно 9 минус 1=8,$

поэтому $y меньше или равно 4.$ Более того, если y  =  4, то в предыдущем неравенстве должно быть равенство, поэтому $a минус b=b минус c=4,$ откуда a  =  1, b  =  5, c  =  9, но тогда a + b + c не кратно 9. Если y  =  1 или y  =  2, то $x меньше или равно 18.$

Осталось разобрать случай y  =  3. Заметим, что при y  =  3 получим $3y больше 9 минус 1,$ поэтому $a минус c= левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка плюс левая круглая скобка b минус c правая круглая скобка =2y,$ то есть $a минус b=3$ и $b минус c=3.$ Это дает варианты 1, 4, 7; 2, 5, 8 и 3, 6, 9, из которых лишь в последнем сумма цифр кратна 9. Но, как нетрудно убедиться, число 963 не кратно 27, поэтому набора с наибольшим общим делителем 27 все же не существует.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  18.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	626822	а)  да; б)  нет; в)  18.

Ключ