Ре­ше­ние. а)  Пусть бис­сек­три­сы углов па­рал­ле­ло­грам­ма пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках F, G, E и H. По свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма сумма углов A и B равна 180°. Тогда сумма углов HAB и HBA равна Зна­чит, угол  AHB тоже равен  90°. По­это­му угол че­ты­рех­уголь­ни­ка с вер­ши­ной  H  — пря­мой. Ана­ло­гич­но осталь­ные углы этого че­ты­рех­уголь­ни­ка пря­мые. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равны a и b (a > b). Угол между ними равен α. Пусть пря­мая FG пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AD в точке K. Угол DKC равен углу ACB и углу ACD. Тогда тре­уголь­ник KDC рав­но­бед­рен­ный (по двум рав­ным углам), зна­чит, KD  =  DC. Точки G и H лежат на пе­ре­се­че­нии бис­сек­трис углов C, D и A, B со­от­вет­ствен­но. Зна­чит, обе они рав­но­уда­ле­ны от пря­мых AD и BC. По­это­му пря­мые GH и AK па­рал­лель­ны. Пря­мые AH и KG па­рал­лель­ны как бис­сек­три­сы про­ти­во­по­лож­ных углов па­рал­ле­ло­грам­ма. Зна­чит, GHAK па­рал­ле­ло­грамм и Тогда и вто­рая диа­го­наль пря­мо­уголь­ни­ка равна a − b. Пря­мые GH и EF па­рал­лель­ны сто­ро­нам ABCD, по­это­му угол между ними равен  α. Тогда пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна Из усло­вия по­лу­ча­ем ра­вен­ство: Упро­щая, по­лу­ча­ем ра­вен­ство от­ку­да a  =  3b.

Ответ: б) 3 : 1.