РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 626204 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 380

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Каждую цифру a натурального числа n заменим последней цифрой числа a³. Полученное в результате такой замены число будем обозначать n* и называть взаимным с числом n. Число, совпадающее со своим взаимным, будем называть особенным.

а)  Могут ли два разных натуральных числа иметь одинаковые взаимные числа?

б)  Для каких натуральных чисел n будет особенным число $дробь: числитель: левая круглая скобка n плюс n в степени * правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби ?$ Сколько всего существует трехзначных особенных чисел?

в)  Решите уравнение $n плюс n в степени * = 1318.$

Решение. Составим таблицу, показывающую на что заменяются цифры при взятии взаимного числа:

$0\mapsto 0,1\mapsto 1,2\mapsto 8,3\mapsto 7,4\mapsto 4,5\mapsto 5,6\mapsto 6,7\mapsto 3,8\mapsto 2,9\mapsto 9.$

То есть цифры 0, 1, 4, 5, 6, 9 не меняются, а остальные меняются на дополнение до 10.

а)  Из этой таблицы видно, что по каждой цифре взаимного числа однозначно восстанавливается цифра исходного, поэтому совпадение взаимных чисел невозможно.

б)  Запишем число в виде

$n=a_0 умножить на 10 в степени m плюс a_1 умножить на 10 в степени левая круглая скобка m минус 1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс a_m,$

где $a_0, \ldots, a_m$   — цифры. Пусть далее

$n в степени * =b_0 умножить на 10 в степени m плюс b_1 умножить на 10 в степени левая круглая скобка m минус 1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс b_m,$

тогда

$дробь: числитель: n плюс n в степени * , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: a_0 плюс b_0, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 10 в степени m плюс \ldots плюс дробь: числитель: a_m плюс b_m, знаменатель: 2 конец дроби .$

При этом для каждого номера цифры либо $a_i=b_i= дробь: числитель: a_i плюс b_i, знаменатель: 2 конец дроби ,$ и эта цифра заменяется на себя же, либо $дробь: числитель: a_i плюс b_i, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 10, знаменатель: 2 конец дроби =5$   — эта цифра тоже заменяется на себя. Значит, данное число всегда особенное. Трехзначное особенное число строится так  — на первое место можно поставить любую из 5 цифр 1, 4, 5, 6, 9, на остальные места еще и 0, что дает $5 умножить на 6 умножить на 6=180$ вариантов.

в)  Из этого уравнения получаем: $дробь: числитель: n плюс n в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1318, знаменатель: 2 конец дроби =659.$ Значит, (см. п. б), на первом месте у n обязательно стоит 6, на третьем 9, а на втором либо 5 (и не меняется), либо одна из меняющихся цифр. Окончательно, $n принадлежит левая фигурная скобка 629,639,659,679,689 правая фигурная скобка .$

Ответ: а)  нет; б)  всегда, 180; в)   $n принадлежит левая фигурная скобка 629,639,659,679,689 правая фигурная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  нет; б)  всегда, 180; в)   $n принадлежит левая фигурная скобка 629,639,659,679,689 правая фигурная скобка .$

626204

а)  нет; б)  всегда, 180; в)   $n принадлежит левая фигурная скобка 629,639,659,679,689 правая фигурная скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 380

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	626204	а)  нет; б)  всегда, 180; в)   $n принадлежит левая фигурная скобка 629,639,659,679,689 правая фигурная скобка .$