РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Натуральное число будем называть симметричным, если оно совпадает с числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке.

а)  Будет ли симметричное число с четным количеством цифр делиться на 11?

б)  К трехзначному числу припишем справа это же число. Будет ли полученное шестизначное число точным квадратом?

в)  Какие шестизначные симметричные числа делятся на 77? Сколько всего таких чисел?

Решение. а)  По признаку делимости на 11 сравним суммы цифр на нечетных и на четных местах. Очевидно, вторая сумма состоит из тех же слагаемых, написанных в обратном порядке.

б)  Приписывание того же трехзначного числа умножает его на 1001. Но число $1001a=7 умножить на 11 умножить на 13 a$ не может быть квадратом, поскольку трехзначное a не может делиться на 7, 11, 13 одновременно. Без этого условия 1001a будет содержать в разложении на простые какие-то множители из набора 7, 11, 13 в первой степени  — противоречие.

в)  Обозначим цифры этого числа буквами x, y, z. Тогда:

$100 000x плюс 10 000y плюс 1000z плюс 100z плюс 10y плюс x=100 001x плюс 10 010y плюс 1100z=$ $100 000x плюс 10 000y плюс 1000z плюс 100z плюс 10y плюс x=$
$=100 001x плюс 10 010y плюс 1100z=$

$=77 левая круглая скобка 1298x плюс 130y плюс 14z правая круглая скобка плюс 55x плюс 22z= 77 левая круглая скобка 1298x плюс 130y плюс 14z правая круглая скобка плюс 77x плюс 22 левая круглая скобка z минус x правая круглая скобка .$ $=77 левая круглая скобка 1298x плюс 130y плюс 14z правая круглая скобка плюс 55x плюс 22z=$
$= 77 левая круглая скобка 1298x плюс 130y плюс 14z правая круглая скобка плюс 77x плюс 22 левая круглая скобка z минус x правая круглая скобка .$

Первое и второе слагаемое гарантировано делятся на 77, поэтому третье тоже должно делиться, и этого достаточно. Тогда необходимо и достаточно, чтобы z − x делилось на 7. Значит, можно на роль этих цифр взять (8, 1), (1, 8), (9, 2), (2, 9) или (7, 0), а также любую из девяти пар цифр, в которых цифры одинаковы (x нельзя брать нулем как первую цифру числа). Это дает 14 вариантов выбора цифр x и z, и в каждом из них есть 10 вариантов выбора цифры y. Окончательно получаем $14 умножить на 10=140$ вариантов.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  разность первой и третьей цифр делится на 7; 140 чисел.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	625318	а)  да; б)  нет; в)  разность первой и третьей цифр делится на 7; 140 чисел.

Ключ