ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д16 C5 № 622673 Добавить в вариант

В конце 2019 года банк предоставил кредит на сумму 20 миллионов 630 тысяч рублей на следующих условиях:

  — вначале каждого квартала 2020 года долг возрастал на 12%;

  — вначале каждого квартала 2021 года долг возрастал на 25%;

  — в конце третьего и четвёртого квартала 2020 года выплачивались равные платежи;

  — в конце каждого квартала 2021 года выплачивались платежи, каждый из которых равен половине платежа за третий квартал 2020 года;

  — к концу 2021 года долг был выплачен полностью.

Найдите величину ежеквартального платежа в 2021 году.

Спрятать решение

Решение.

Пусть первоначальная сумма кредита $S= 20,63$ млн руб., выплаты в конце каждого квартала 2021 года равны x млн руб., повышающие коэффициенты равны $a=1 плюс дробь: числитель: 12, знаменатель: 100 конец дроби = дробь: числитель: 28, знаменатель: 25 конец дроби ,$ $b=1 плюс дробь: числитель: 25, знаменатель: 100 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби .$ Заполним таблицу.

Год и квартал	Долг с начисленными процентами, млн руб.	Выплата, млн руб.	Долг до начисления процентов, млн руб.
IV квартал 2019			S
I квартал 2020	aS		aS
II квартал 2020	$a в квадрате S$		$a в квадрате S$
III квартал 2020	$a в кубе S$	$2x$	$a в кубе S минус 2x$
IV квартал 2020	$a в степени 4 S минус 2ax$	$2x$	$a в степени 4 S минус 2ax минус 2x$
I квартал 2021	$a в степени 4 bS минус 2abx минус 2bx$	x	$a в степени 4 bS минус 2abx минус 2bx минус x$
II квартал 2021	$a в степени 4 b в квадрате S минус 2ab в квадрате x минус 2b в квадрате x минус bx$	x	$a в степени 4 b в квадрате S минус 2ab в квадрате x минус 2b в квадрате x минус bx минус x$
III квартал 2021	$a в степени 4 b в кубе S минус 2ab в кубе x минус 2b в кубе x минус b в квадрате x минус bx$	x	$a в степени 4 b в кубе S минус 2ab в кубе x минус 2b в кубе x минус b в квадрате x минус bx минус x$
IV квартал 2021	$a в степени 4 b в степени 4 S минус 2ab в степени 4 x минус 2b в степени 4 x минус b в кубе x минус b в квадрате x минус bx$	x	$a в степени 4 b в степени 4 S минус 2ab в степени 4 x минус 2b в степени 4 x минус b в кубе x минус b в квадрате x минус bx минус x$

В конце 2021 года долг равняется нулю, тогда

$a в степени 4 b в степени 4 S минус 2ab в степени 4 x минус 2b в степени 4 x минус b в кубе x минус b в квадрате x минус bx минус x=0 равносильно x= дробь: числитель: a в степени 4 b в степени 4 S, знаменатель: 2ab в степени 4 плюс 2b в степени 4 плюс b в кубе плюс b в квадрате плюс b плюс 1 конец дроби равносильно$ $a в степени 4 b в степени 4 S минус 2ab в степени 4 x минус 2b в степени 4 x минус b в кубе x минус b в квадрате x минус bx минус x=0 равносильно$
$равносильно x= дробь: числитель: a в степени 4 b в степени 4 S, знаменатель: 2ab в степени 4 плюс 2b в степени 4 плюс b в кубе плюс b в квадрате плюс b плюс 1 конец дроби равносильно$

$равносильно x= дробь: числитель: a в степени 4 b в степени 4 S, знаменатель: 2ab в степени 4 плюс 2b в степени 4 плюс дробь: числитель: b в степени 4 минус 1, знаменатель: b минус 1 конец дроби конец дроби \undersetb= дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби \mathop равносильно x= дробь: числитель: a в степени 4 b в степени 4 S, знаменатель: 2ab в степени 4 плюс 2b в степени 4 плюс 4b в степени 4 минус 4 конец дроби равносильно x= дробь: числитель: левая круглая скобка ab правая круглая скобка в степени 4 S, знаменатель: левая круглая скобка 2a плюс 6 правая круглая скобка b в степени 4 минус 4 конец дроби .$ $равносильно x= дробь: числитель: a в степени 4 b в степени 4 S, знаменатель: 2ab в степени 4 плюс 2b в степени 4 плюс дробь: числитель: b в степени 4 минус 1, знаменатель: b минус 1 конец дроби конец дроби \undersetb= дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби \mathop равносильно$
$\undersetb= дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби \mathop равносильно x= дробь: числитель: a в степени 4 b в степени 4 S, знаменатель: 2ab в степени 4 плюс 2b в степени 4 плюс 4b в степени 4 минус 4 конец дроби равносильно x= дробь: числитель: левая круглая скобка ab правая круглая скобка в степени 4 S, знаменатель: левая круглая скобка 2a плюс 6 правая круглая скобка b в степени 4 минус 4 конец дроби .$

Подставим численные значения:

$x= дробь: числитель: левая круглая скобка дробь: числитель: 28 умножить на 5, знаменатель: 25 умножить на 4 конец дроби правая круглая скобка в степени 4 умножить на 20,63 , знаменатель: левая круглая скобка 2 умножить на дробь: числитель: 28, знаменатель: 25 конец дроби плюс 6 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени 4 минус 4 конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 7 в степени 4 , знаменатель: 5 в степени 4 конец дроби умножить на 20,63 , знаменатель: дробь: числитель: 206, знаменатель: 25 конец дроби умножить на дробь: числитель: 25 умножить на 25, знаменатель: 256 конец дроби минус 4 конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 7 в степени 4 , знаменатель: 5 в степени 4 конец дроби умножить на 20,63 , знаменатель: дробь: числитель: 103 умножить на 25, знаменатель: 128 конец дроби минус дробь: числитель: 4 умножить на 128, знаменатель: 128 конец дроби конец дроби =$
$= дробь: числитель: 7 в степени 4 умножить на 20,63 умножить на 128 , знаменатель: 5 в степени 4 умножить на 2063 конец дроби = дробь: числитель: 2401 умножить на 128, знаменатель: 625 умножить на 100 конец дроби =4,917248.$ $x= дробь: числитель: левая круглая скобка дробь: числитель: 28 умножить на 5, знаменатель: 25 умножить на 4 конец дроби правая круглая скобка в степени 4 умножить на 20,63 , знаменатель: левая круглая скобка 2 умножить на дробь: числитель: 28, знаменатель: 25 конец дроби плюс 6 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени 4 минус 4 конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 7 в степени 4 , знаменатель: 5 в степени 4 конец дроби умножить на 20,63 , знаменатель: дробь: числитель: 206, знаменатель: 25 конец дроби умножить на дробь: числитель: 25 умножить на 25, знаменатель: 256 конец дроби минус 4 конец дроби =$
$= дробь: числитель: дробь: числитель: 7 в степени 4 , знаменатель: 5 в степени 4 конец дроби умножить на 20,63 , знаменатель: дробь: числитель: 103 умножить на 25, знаменатель: 128 конец дроби минус дробь: числитель: 4 умножить на 128, знаменатель: 128 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 7 в степени 4 умножить на 20,63 умножить на 128 , знаменатель: 5 в степени 4 умножить на 2063 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 2401 умножить на 128, знаменатель: 625 умножить на 100 конец дроби =4,917248.$

Значит, ежеквартальный платёж в 2021 году составлял 4 917 248 рублей.

Ответ: 4 917 248 рублей.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 369

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь