РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 621857 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 366

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Окружность, описанная вокруг треугольника

Планиметрическая задача. Описанные окружности и треугольники

В треугольнике KLM биссектрисы внешних углов при вершинах K и M пересекаются в точке N. Через точки K, N и M проведена окружность с центром в точке O.

а)  Докажите, что точки K, L, M и O лежат на одной окружности.

б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KLM, если площадь треугольника KMO равна $27 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ а угол KLM равен 120°.

Решение. а)  Пусть ∠KLM  =  α. Тогда $\angle LKM плюс \angle LMK=180 градусов минус альфа ,$ отсюда

$\angle NKM плюс \angle NMK= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 360 градусов минус левая круглая скобка 180 градусов минус альфа правая круглая скобка правая круглая скобка =90 градусов плюс дробь: числитель: альфа , знаменатель: 2 конец дроби .$

Следовательно, $\angle KNM=90 градусов минус дробь: числитель: альфа , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $\angle KOM=180 градусов минус альфа ,$ и четырёхугольник KLMO вписан в окружность.

б)  Поскольку ∠KLM  =  120°, ∠KOM  =  60°. Тогда $S_\Delta KMO= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби KO в квадрате умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,$ отсюда получаем:

$KO в квадрате =27 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента : дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби =108 равносильно KO=6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Заметим, что треугольник KOM равносторонний, следовательно, $KM=6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ По теореме синусов получаем:

$2R_KLM= дробь: числитель: 6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: синус 120 градусов конец дроби =12 равносильно R_KLM=6.$

Ответ: б) 6.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) 6.

621857

б) 6.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 366

Методы геометрии: Теорема синусов

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Окружность, описанная вокруг треугольника

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	621857	б) 6.