РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

а)  Можно ли в выражении $\ln5*\ln6*\ln7*\ln8*\ln10*\ln12*\ln14$ вместо всех знаков * расставить знаки + и − так, чтобы в результате получился нуль?

б)  Можно ли в выражении $\ln6*\ln7*\ln8*\ln12*\ln14*\ln24*\ln32$ вместо всех знаков * расставить знаки + и − так, чтобы в результате получился нуль?

в)  Какое наибольшее количество попарно различных чисел можно выбрать из набора $\ln7,\ln8,\ldots,\ln20$ и расставить знаки + и − так, чтобы их сумма стала равна нулю?

Решение. В каждом из пунктов требуется разбить логарифмы на две группы так, чтобы суммы в группах оказались равны, а затем перед одной группой поставить плюсы, а перед другой минусы. Поскольку сумма логарифмов, взятых по одному основанию, это логарифм по тому же основанию от произведения их аргументов, необходимо и достаточно, чтобы произведения аргументов логарифмов оказались равны.

а)  Поскольку 5 · 6 · 7 · 8  =  10 · 12 · 14 это возможно.

б)  Числа 6, 7, 8, 12, 14, 24, 32 содержат 1 + 0 + 3 + 2 + 1 + 3 + 5  =  15 простых множителей 2, поэтому при любом разбиении чисел на две группы в них будет не поровну множителей 2. Значит, произведения не будут равными.

в)  Ясно, что числа 11, 13, 17, 19 нужно удалить: на каждое из таких простых делится только оно само, поэтому если их оставить, то одно из произведений будет кратно какому-то из этих простых, а второе  — нет. В числах 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20 содержатся следующие простые множители: 2  — 14 раз, 3  — 6 раз, 5  — 3 раза, 7  — 2 раза. Поскольку множителей 5 нечетное число, сделать равные произведения не получится. С другой стороны, если удалить число 20, то можно будет разбить на две группы с одинаковым произведением, например, так:

7 · 8 · 9 · 10 · 12  =  14 · 15 · 16 · 18.

Итак, можно удалить 5 чисел и оставить 9.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  9.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получено обоснованное решение одного любого из пунктов а  — г.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	621474	а)  да; б)  нет; в)  9.

Ключ