PDF-версии: 
Дан треугольник ABC со сторонами AB = 4, BC = 5 и AC = 6.
а) Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна стороне BC.
б) Найдите длину биссектрисы треугольника ABC, проведенной из вершины A.
Решение. а) Пусть в треугольнике ABC биссектриса угла А пересекает сторону BC в точке H, а биссектрису угла B в точке пересекаются в точке F. По свойству биссектрисы
Аналогично, по свойству биссектрисы, только для треугольника ABH получаем:
Пусть теперь AD — медиана треугольника ABC, а G — точка пересечения медиан. Известно, что 
Тогда треугольники AFG и AHD подобны по двум сторонам и углу между ними. Значит, прямые FG и HD параллельны, то есть прямые FG и BC параллельны. Что и требовалось доказать.
б) Запишем теорему косинусов для треугольников ABH и AHC, приняв угол AHB за α:
Отсюда
Упрощая, получаем:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |