Тип Д10 C2 № 564903 
Сложная стереометрия. Многогранники
i
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD на ребрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причем DN : NC = SK : KC = 1 : 4. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.
б) Найдите, в каком отношении плоскость α делит объем пирамиды.
Решение. 
а) Пусть плоскость α пересекает грань SBC по отрезку KL, а грань ABCD по отрезку MN. Заметим, что прямые KL, BC и MN параллельны. При этом точка L лежит на ребре SB, а точка M — на ребре AB. Так как прямые KL, BC и MN параллельны, имеем:
таким образом, прямые ML и SA параллельны, и плоскость α параллельна прямой SA.
б) Разобьём многогранник BCKLMN на две пирамиды: LMNCB и NCKL. Первая пирамида четырёхугольная с прямоугольником BCNM в основании, вершиной L и высотой LH. Отрезок SO — высота пирамиды SABCD. Заметим, что 
Тогда
Пусть hN — высота пирамиды NCKL, опущенная из вершины N, а hD — высота пирамиды DBCS, опущенная из вершины D. Тогда 
Следовательно, 
Тогда получаем:
Тем самым объём оставшегося куска равен 
и искомое соотношение — 37 : 88.
Ответ: б) 37 : 88.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 37 : 88.
PDF-версии: