РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 563580 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Вологодская область;

Задания 19 ЕГЭ–2021.

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Методы алгебры: Перебор случаев

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Дано трехзначное натуральное число, не кратное 100.

а)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 55?

б)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 87?

в)  Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр, если первая цифра данного числа равна 7?

Решение. Пусть это число состоит из цифр a, b, c, тогда оно равно $100a плюс 10b плюс c.$

а)  Имеем уравнение $100a плюс 10b плюс c = 55 левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка ,$ откуда $45a = 45b плюс 54c,$ что возможно, например, для числа 110.

б)  Аналогично получаем уравнение $100a плюс 10b плюс c = 87 левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка ,$ откуда $13a = 77b плюс 86c.$ При $b плюс c больше или равно 2$ имеем

$77b плюс 86c больше или равно 77 левая круглая скобка b плюс c правая круглая скобка больше или равно 77 умножить на 2 = 154 больше 13 умножить на 9,$

поэтому таких чисел нет. Если же $b плюс c меньше 2,$ то остаются три варианта:

—   $b = 1,$ $c = 0,$ $13a = 77$   — невозможно,

—   $b = 0,$ $c = 1,$ $13a = 86$   — невозможно,

—   $b = c = 0,$ $13a = 0$   — невозможно.

Значит, таких чисел нет.

в)  Число имеет вид $700 плюс 10a плюс b,$ нас интересует минимум выражения $дробь: числитель: 700 плюс 10a плюс b, знаменатель: 7 плюс a плюс b конец дроби .$ При $a = b = 7$ имеем $дробь: числитель: 777, знаменатель: 21 конец дроби = 37.$ При $a плюс b меньше или равно 12$ имеем $дробь: числитель: 700 плюс 10a плюс b, знаменатель: 7 плюс a плюс b конец дроби больше или равно дробь: числитель: 700, знаменатель: 19 конец дроби = 36,8\ldots,$ поэтому получить меньше 37 при таких условиях нельзя.

Теперь разберем случаи, когда $a плюс b больше или равно 13:$

—  числа 794, 785, 776, 767, 758, 749 не кратны 20,

—  число 777 кратно 21, а числа, большие его, 786 и 795 не подходят,

—  числа 796, 787, 778, 769 не кратны 22,

—  числа 797, 788, 779 не кратны 23,

—  числа 798, 789 не кратны 24,

—  число 799 не кратно 25.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  37.

Примечание.

Другой путь решения задачи показан нами в задании 563659.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  37.

563580

а)  да; б)  нет; в)  37.

Источники:

ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Вологодская область;

Задания 19 ЕГЭ–2021.

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Методы алгебры: Перебор случаев

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	563580	а)  да; б)  нет; в)  37.