РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 563400 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 357

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Введение замены, Перебор случаев

Задача с параметром. Уравнения с параметром

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

$левая круглая скобка \ctg x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 2a в кубе плюс 3a в квадрате = левая круглая скобка a в квадрате плюс 2a плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка \ctg x плюс 3 правая круглая скобка$

имеет ровно 2 решения на интервале $левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая круглая скобка .$

Решение. Преобразуем уравнение:

$равносильно левая круглая скобка \ctg x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка a в квадрате плюс 2a плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка \ctg x плюс 3 правая круглая скобка плюс a в квадрате левая круглая скобка 2a плюс 3 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений \ctg x плюс 3=a в квадрате ,\ctg x плюс 3=2a плюс 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений \ctg x=a в квадрате минус 3,\ctg x=2a. конец совокупности .$ $равносильно левая круглая скобка \ctg x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка a в квадрате плюс 2a плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка \ctg x плюс 3 правая круглая скобка плюс a в квадрате левая круглая скобка 2a плюс 3 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений \ctg x плюс 3=a в квадрате ,\ctg x плюс 3=2a плюс 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений \ctg x=a в квадрате минус 3,\ctg x=2a. конец совокупности .$

Заметим, что уравнение $\ctg x=t$ при $t\geqslant0$ имеет один корень на интервале $левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая круглая скобка ,$ а при $t меньше 0$   — два корня на этом интервале. Тогда исходное уравнение имеет ровно два корня на интервале $левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая круглая скобка$ в двух случаях: или

$система выражений a в квадрате минус 3=2a,2a меньше 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений a= минус 1,a=3, конец системы . a меньше 0 конец совокупности . равносильно a= минус 1,$

или

$система выражений a в квадрате минус 3\geqslant0,2a\geqslant0,a в квадрате минус 3 не равно 2a конец системы . равносильно система выражений a больше или равно корень из 3 ,a\geqslant0 ,a не равно 3 конец системы . равносильно совокупность выражений корень из 3 меньше или равно a меньше 3,a больше 3. конец совокупности .$

Объединяя полученные значения, получаем ответ.

Ответ: $левая фигурная скобка минус 1 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка корень из 3 ; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

563400

$левая фигурная скобка минус 1 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка корень из 3 ; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 357

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Введение замены, Перебор случаев

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	563400	$левая фигурная скобка минус 1 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка корень из 3 ; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$