Тип Д15 C4 № 563398 
Сложная планиметрия. Комбинации фигур
i
В треугольнике ABC известно, что AB = AC = 10, BC = 12. На стороне AB отметили точки M1 и M2 так, что AM1 < AM2. Через точки M1 и M2 провели прямые, перпендикулярные стороне AB и отсекающие от треугольника ABC пятиугольник, в который можно вписать окружность.
а) Докажите, что AM1 : BM2 = 1 : 3.
б) Найдите площадь данного пятиугольника.
Решение. 
а) Пусть в треугольник ABC вписана окружность, точку её касания со стороной AB обозначим M, точку её касания со стороной BC обозначим Z. Заметим, что существует только одна окружность, касающаяся отрезков AB, BC, AC, значит, окружность, вписанная в пятиугольник из нашей задачи, это и есть окружность, вписанная в треугольник ABC.
По свойству касательных 
Площадь треугольника ABC можно вычислить, например, по формуле Герона, получится 48. Тогда радиус вписанной окружности равен
откуда MM2 = MM1 = 3. Следовательно, BM2 = 6 − 3 = 3, а AM1 = 10 − 6 − 3 = 1. Что и требовалось доказать.
б) Обозначим вершину пятиугольника, лежащую на отрезке BZ, буквой E. Заметим, что 
отсюда 
M2E = 4 и площадь треугольника BM2E равна 6. Обозначим вершину пятиугольника, лежащую на отрезке AC, буквой F. Заметим, что
Тогда 
и площадь треугольника AM1F равна 
Отсюда площадь искомого пятиугольника равна 
Ответ: 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: 
PDF-версии: