РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 563397 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 357

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства, Неравенства смешанного типа, Область определения неравенства, Рациональные неравенства

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Неравенства. Неравенства рациональные относительно логарифмической функции

Решите неравенство $дробь: числитель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби минус 10 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка конец дроби \geqslant1.$

Решение. Заметим, что неравенство не имеет смысла при $x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби \leqslant0,$ а если $x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби больше 0,$ то $x больше 0.$ Сумма положительных взаимно обратных величин не меньше двух, а логарифм, основание и аргумент которого больше 1, положителен:

$x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби \geqslant2 \Rightarrow логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка больше 0.$

Тогда обе части неравенства можно умножить на знаменатель левой части, не меняя знака неравенства:

$дробь: числитель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби минус 10 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка конец дроби \geqslant1 равносильно логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби минус 10 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка равносильно система выражений x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби минус 10 больше или равно x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби ,x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби больше 0. конец системы .$ $дробь: числитель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби минус 10 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка конец дроби \geqslant1 равносильно логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби минус 10 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби минус 10 больше или равно x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби ,x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби больше 0. конец системы .$ $дробь: числитель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби минус 10 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка конец дроби \geqslant1 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби минус 10 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби минус 10 больше или равно x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби ,x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби больше 0. конец системы .$

Пусть $t=x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби ,$ тогда $t в квадрате минус 2=x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби ,$ откуда получаем:

$система выражений t в квадрате минус 2 минус 10 больше или равно t,t больше 0 конец системы . равносильно система выражений t в квадрате минус t минус 12\geqslant0,t больше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка \geqslant0,t больше 0 конец системы . равносильно t\geqslant4.$

Вернёмся к исходной переменной:

$x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби \geqslant4 \underset x больше 0 \mathop равносильно x в квадрате минус 4x плюс 1 больше или равно 0 \underset x больше 0 \mathop равносильно совокупность выражений 0 меньше x\leqslant2 минус корень из 3 ,x\geqslant2 плюс корень из 3 . конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 0;2 минус корень из 3 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2 плюс корень из 3 ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

563397

$левая круглая скобка 0;2 минус корень из 3 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2 плюс корень из 3 ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 357

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	563397	$левая круглая скобка 0;2 минус корень из 3 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2 плюс корень из 3 ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$