РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 563396 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 357

Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Площадь сечения, Правильная четырёхугольная призма, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой

Стереометрическая задача. Сечения призм

Дана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. На ребре BB₁ отмечена точка Q такая, что BQ : QB₁  =  2 : 7. Плоскость α проходит через точки A и Q параллельно прямой BD. Эта плоскость пересекает ребро CC₁ в точке M.

а)  Докажите, что C₁M : CC₁  =  5 : 9.

б)  Найдите площадь сечения, если $AB=3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ AA₁  =  18.

Решение. а)  Пусть сечение пересекает ребро DD₁ в точке R. Тогда прямая QR лежит в плоскости BB₁D₁D и параллельна BD. Пусть T  — центр основания, а S  — точка пересечения AM и QR. Треугольники AST и AMC подобны с коэффициентом подобия 2, $ST=BQ= дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби BB_1,$ $CM=2ST= дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби BB_1,$ откуда

$C_1M= дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби BB_1= дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби CC_1 равносильно дробь: числитель: C_1M, знаменатель: CC_1 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби .$

б)  Заметим, что $AQ в квадрате =AB в квадрате плюс BQ в квадрате ,$ далее

$QM в квадрате =BC в квадрате плюс левая круглая скобка MC минус QB правая круглая скобка в квадрате =AB в квадрате плюс BQ в квадрате ,$

следовательно, AQMR  — ромб. Имеем $RQ=BD=6,$ тогда

$AM= корень из: начало аргумента: AC в квадрате плюс CM в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 6 в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби умножить на 18 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента =10.$

Окончательно получаем

$S_AQMR= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби RQ умножить на AM=30.$

Ответ: б) 30.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) 30.

563396

б) 30.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 357

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	563396	б) 30.