PDF-версии: 
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 
На ребрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причем AM = 4, SK : KB = 1 : 3.
а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
б) Найдите объём пирамиды BCKM.
Решение. а) Пусть точка N — середина стороны AC, точка О — центр основания. Тогда: отрезок NB — медиана основания,
Через точку K проведем прямую KH параллельно высоте пирамиды SO. Прямая KH перпендикулярен плоскости ABC и, значит, лежащей в ней прямой прямой NB. Треугольники SOB и KHB подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, 
откуда
Тогда точка H — середина стороны BN.
Рассмотрим треугольник BAN. Заметим, что
значит, по обратной теореме Менелая, точки M, H и C лежат на одной прямой. Следовательно, тогда плоскость KMC проходит через прямую KH, перпендикулярную плоскости ABC, а потому плоскости KMC и ABC перпендикулярны.
б) Запишем формулу для объема пирамиды BKCM:
Треугольник SOB прямоугольный, по теореме Пифагора находим:
Тогда
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |