Ре­ше­ние. а) Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке  SOA катет  SO равен 5, а катет AO равен 12, сле­до­ва­тель­но, ги­по­те­ну­за, яв­ля­ю­ща­я­ся об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са, равна 12. Об­ра­зу­ю­щие ко­ну­са равны, по­это­му Пусть эти об­ра­зу­ю­щие вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Со­еди­ним точки А и В, в рав­но­бед­рен­ном пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке SAB ги­по­те­ну­за По­сколь­ку по­лу­чен­ная длина хорды АВ мень­ше диа­мет­ра окруж­но­сти, точки тре­бу­е­мым об­ра­зом вы­брать можно (см. прим.), по­то­му ис­ко­мое се­че­ние  — рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник SAB с ос­но­ва­ни­ем AB, рав­ным и бо­ко­вы­ми сто­ро­на­ми SA и SB, рав­ны­ми 13.

б)  Пусть рас­сто­я­ни­ем от плос­ко­сти се­че­ния до цен­тра ос­но­ва­ния ко­ну­са яв­ля­ет­ся от­ре­зок OK. Вы­ра­зим объем пи­ра­ми­ды OSAB двумя спо­со­ба­ми:

От­сю­да где

Рас­смот­рим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABO. Пусть точка Н  — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния  АВ  (см.  рис.) Длины сто­рон AO и OB равны 12, длины от­рез­ков AH и HB равны Ме­ди­а­на OH яв­ля­ет­ся вы­со­той, по­это­му, при­ме­няя тео­ре­му Пи­фа­го­ра к тре­уголь­ни­ку OHA, на­хо­дим:

Ответ:

При­ме­ча­ние Дмит­рия Гу­щи­на.

За­ме­тим, что от­сут­ствие этой про­вер­ки не поз­во­ля­ет счи­тать ре­ше­ние обос­но­ван­ным. На­при­мер, про­ве­дя ана­ло­гич­ные рас­суж­де­ния для ко­ну­са ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния 5 и вы­со­той 12, най­дем, что об­ра­зу­ю­щая и хорда ос­но­ва­ния также равны со­от­вет­ствен­но 13 и Но те­перь хорда боль­ше диа­мет­ра ос­но­ва­ния, а по­то­му ис­ко­мо­го се­че­ния не су­ще­ству­ет. Пре­дель­ным слу­ча­ем яв­ля­ет­ся конус, в ко­то­ром осе­вое се­че­ние яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным тре­уголь­ни­ком, а вы­со­та ко­ну­са равна ра­ди­у­су ос­но­ва­ния: если вы­со­та мень­ше ра­ди­у­са, се­че­ние по­стро­ить можно, если боль­ше  — нель­зя.