РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 562150 Добавить в вариант

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Классификатор алгебры: Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

а)  Решите уравнение $косинус 2x минус синус 2x= косинус x плюс синус x плюс 1.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

$косинус 2x минус синус 2x= косинус x плюс синус x плюс 1 равносильно косинус в квадрате x минус синус в квадрате x = косинус x плюс синус x плюс косинус в квадрате x плюс синус в квадрате x плюс 2 синус x косинус x равносильно$
$равносильно косинус в квадрате x минус синус в квадрате x = косинус x плюс синус x плюс левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x минус синус x минус 1 минус левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка правая круглая скобка = 0 равносильно левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка левая круглая скобка минус 2 синус x минус 1 правая круглая скобка =0.$ $косинус 2x минус синус 2x= косинус x плюс синус x плюс 1 равносильно$
$равносильно косинус в квадрате x минус синус в квадрате x = косинус x плюс синус x плюс косинус в квадрате x плюс синус в квадрате x плюс 2 синус x косинус x равносильно$
$равносильно косинус в квадрате x минус синус в квадрате x = косинус x плюс синус x плюс левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x минус синус x минус 1 минус левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка правая круглая скобка = 0 равносильно левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка левая круглая скобка минус 2 синус x минус 1 правая круглая скобка =0.$ $косинус 2x минус синус 2x= косинус x плюс синус x плюс 1 равносильно$
$равносильно косинус в квадрате x минус синус в квадрате x = косинус x плюс синус x плюс косинус в квадрате x плюс синус в квадрате x плюс 2 синус x косинус x равносильно$
$равносильно косинус в квадрате x минус синус в квадрате x = косинус x плюс синус x плюс левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x минус синус x минус 1 минус левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка левая круглая скобка минус 2 синус x минус 1 правая круглая скобка =0.$

Приравняем каждую скобку к нулю:

$совокупность выражений косинус x плюс синус x = 0, минус 2 синус x минус 1 = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений синус x = минус косинус x, синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k ,x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни на промежутке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая квадратная скобка$ с помощью неравенств:

$минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k меньше или равно минус Пи равносильно минус 10 меньше или равно минус 1 плюс 4k меньше или равно минус 4 равносильно минус 9 меньше или равно 4k меньше или равно минус 3;$

следовательно, $k = минус 1; k = минус 2.$

Получим:

$минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус Пи = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус 2 Пи = минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Второй корень:

$минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус Пи равносильно минус 15 меньше или равно минус 1 плюс 12k меньше или равно минус 6 равносильно минус 14 меньше или равно 12k меньше или равно минус 5,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус Пи равносильно$
$равносильно минус 15 меньше или равно минус 1 плюс 12k меньше или равно минус 6 равносильно минус 14 меньше или равно 12k меньше или равно минус 5,$

тогда $k = минус 1.$

При подставлении данного k получим:

$минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби минус 2 Пи = минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Третий корень:

$минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус Пи равносильно минус 15 меньше или равно минус 5 плюс 12k меньше или равно минус 6 равносильно минус 10 меньше или равно 12k меньше или равно минус 1 равносильно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 12.$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус Пи равносильно минус 15 меньше или равно минус 5 плюс 12k меньше или равно минус 6 равносильно$
$равносильно минус 10 меньше или равно 12k меньше или равно минус 1 равносильно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 12.$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус Пи равносильно$
$равносильно минус 15 меньше или равно минус 5 плюс 12k меньше или равно минус 6 равносильно$
$равносильно минус 10 меньше или равно 12k меньше или равно минус 1 равносильно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 12.$

Данное неравенство не имеет целых решений.

Ответ:

а)   $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k правая фигурная скобка ,$ где $k принадлежит Z; правая фигурная скобка$

б)   $минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ:

562150

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Ключ

№ п/п

№ задания

Ответ

562150