РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 562044 Добавить в вариант

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Классификатор алгебры: Комбинация «кривых», Левая и правая части в качестве отдельных графиков, Уравнения с параметром

Задача с параметром. Уравнения с параметром, содержащие модуль

Найдите все значения a, при каждом из которых среди корней уравнения $x в квадрате минус 10x плюс 35=a|x минус 6|$ будет ровно два положительных.

Решение. График $y = x в квадрате минус 10x плюс 35$   — парабола $y = x в квадрате ,$ сдвинутая на (5; 10), график функции $y = a|x минус 6|$   —

график функции $y = |x|,$ сдвинутый на (6; 0) и растянутый в a раз. При $a меньше или равно 0$ уравнение не имеет корней.

Найдём положительное значение параметра, при котором правая часть ломаной $y = a|x минус 6|$ касается параболы:

$x в квадрате минус 10x плюс 35 = a левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка равносильно x в квадрате минус левая круглая скобка 10 плюс a правая круглая скобка x плюс 35 плюс 6a=0,$

$D = 0 равносильно левая круглая скобка 10 плюс a правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 35 плюс 6a правая круглая скобка = 0 равносильно 100 плюс 20a плюс a в квадрате минус 140 минус 24a = 0 равносильно a в квадрате минус 4a минус 40 = 0 равносильно$ $D = 0 равносильно левая круглая скобка 10 плюс a правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 35 плюс 6a правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно 100 плюс 20a плюс a в квадрате минус 140 минус 24a = 0 равносильно a в квадрате минус 4a минус 40 = 0 равносильно$ $D = 0 равносильно левая круглая скобка 10 плюс a правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 35 плюс 6a правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно 100 плюс 20a плюс a в квадрате минус 140 минус 24a = 0 равносильно$
$равносильно a в квадрате минус 4a минус 40 = 0 равносильно$

$равносильно a = 2 \pm 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента \underseta больше 0\mathop равносильно a = 2 плюс 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента .$

Найдём положительное значение параметра, при котором левая часть ломаной $y = a|x минус 6|$ касается параболы:

$x в квадрате минус 10x плюс 35 = минус ax плюс 6a равносильно x в квадрате минус левая круглая скобка 10 минус a правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка 35 минус 6a правая круглая скобка = 0.$

$D = 0 равносильно левая круглая скобка 10 минус a правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 35 минус 6a правая круглая скобка = 0 равносильно 100 минус 20a плюс a в квадрате минус 140 плюс 24a = 0 равносильно a в квадрате плюс 4a минус 40 = 0 равносильно$ $D = 0 равносильно левая круглая скобка 10 минус a правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 35 минус 6a правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно 100 минус 20a плюс a в квадрате минус 140 плюс 24a = 0 равносильно a в квадрате плюс 4a минус 40 = 0 равносильно$ $D = 0 равносильно левая круглая скобка 10 минус a правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 35 минус 6a правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно 100 минус 20a плюс a в квадрате минус 140 плюс 24a = 0 равносильно$
$равносильно a в квадрате плюс 4a минус 40 = 0 равносильно$

$равносильно a = минус 2 \pm 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента \underseta больше 0\mathop равносильно a = минус 2 плюс 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента .$

Найдём положительное значение параметра, при котором левая часть ломаной $y = a|x минус 6|$ проходит через точку $левая круглая скобка 0; 35 правая круглая скобка :$

$35=a|0 минус 6| равносильно 35=6a равносильно a= дробь: числитель: 35, знаменатель: 6 конец дроби .$

Определим количество положительных корней при всех возможных значениях параметра:

Значения параметра	Количество корней на промежутке $левая круглая скобка 0; 6 правая круглая скобка$	Количество корней на промежутке $левая квадратная скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка$	Общее количество положительных корней
$a меньше минус 2 плюс 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента$	нет корней	нет корней	нет корней
$a= минус 2 плюс 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента$	один корень	нет корней	один корень
$минус 2 плюс 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента меньше a меньше дробь: числитель: 35, знаменатель: 6 конец дроби$	два корня	нет корней	два корня
$дробь: числитель: 35, знаменатель: 6 конец дроби меньше или равно a меньше 2 плюс 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента$	один корень	нет корней	один корень
$a= 2 плюс 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента$	один корень	один корень	два корня
$a больше 2 плюс 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента$	один корень	два корня	три корня

Ответ: $левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента минус 2; дробь: числитель: 35, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 2 плюс 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента правая фигурная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки a = 4.	3
С помощью верного рассуждения получен промежуток (4; +∞), возможно, с исключением граничной точки a = 4 и исключением точки a = 3 ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения.	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямой и окружности и прямых (аналитически или графически).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

562044

$левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента минус 2; дробь: числитель: 35, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 2 плюс 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента правая фигурная скобка .$

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Методы алгебры: Перебор случаев

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	562044	$левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента минус 2; дробь: числитель: 35, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 2 плюс 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента правая фигурная скобка .$