РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 561743 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 349

Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и системы окружностей

Планиметрическая задача. Окружности и системы окружностей

В полуокружности с диаметром MN расположены две окружности с центрами O₁ и O₂, касающиеся друг друга, полуокружности и прямой MN (при этом точки касания c полуокружностью  — это соответственно A и B).

а)  Докажите, что прямые O₁A, O₂B и MN пересекаются в одной точке.

б)  Радиусы окружностей равны 2 и 5. Найдите радиус полуокружности.

Решение. а)  Заметим, что точка касания двух окружностей лежит на их линии центров. Пусть O  — середина диаметра MN, тогда A лежит на прямой OO₁, точка B лежит на OO₂. Значит, прямые AO₁, BO₂ и MN пересекаются в одной точке (точке O). Что и требовалось доказать.

б)  Пусть С и D  — точки касания соответственно первой и второй окружностей с прямой MN. Тогда из прямоугольной трапеции СO₁O₂D получаем:

$CD в квадрате = левая круглая скобка 2 плюс 5 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 5 минус 2 правая круглая скобка в квадрате =40.$

Обозначим искомый радиус R, тогда из треугольника O₁CO получаем

$CO в квадрате = левая круглая скобка R минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус 2 в квадрате =R в квадрате минус 4R.$

Аналогично

$DO в квадрате = левая круглая скобка R минус 5 правая круглая скобка в квадрате минус 5 в квадрате =R в квадрате минус 10R.$

Точки касания могут лежать по одну сторону от центра большей окружности или по разные стороны. В каждом из этих случаев $DO=|CO минус CD|,$ то есть $DO в квадрате = левая круглая скобка CO минус CD правая круглая скобка в квадрате ,$ откуда

$R в квадрате минус 10R=R в квадрате минус 4R минус 2 корень из: начало аргумента: 40 умножить на левая круглая скобка R в квадрате минус 4R правая круглая скобка конец аргумента плюс 40 равносильно$

$равносильно корень из: начало аргумента: 40 умножить на левая круглая скобка R в квадрате минус 4R правая круглая скобка конец аргумента =3R плюс 20 равносильно$

$равносильно 40R в квадрате минус 160R=9R в квадрате плюс 120R плюс 400 равносильно R= дробь: числитель: 140 плюс 80 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 31 конец дроби .$

Ответ: б) $дробь: числитель: 140 плюс 80 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 31 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б	3
Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

561743

б) $дробь: числитель: 140 плюс 80 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 31 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 349

Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и системы окружностей

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	561743	б) $дробь: числитель: 140 плюс 80 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 31 конец дроби .$