РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 561448 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 348

Методы геометрии: Метод площадей, Теорема о трёх перпендикулярах

Классификатор стереометрии: Расстояние от точки до прямой, Цилиндр

Стереометрическая задача. Расстояние между точками, от точки до прямой

В прямом круговом цилиндре проведена образующая NN₁, точка N лежит в нижнем основании. Отрезок KM₁ пересекает ось цилиндра, а точки K и M₁ лежат на окружностях нижнего и верхнего основания соответственно.

а)  Докажите, что треугольник KNM₁ прямоугольный.

б)  Найдите расстояние от точки N до прямой KM₁, если KN  =  9, $NN_1=20 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ N₁M₁  =  20.

Решение. а)  Назовём ось цилиндра OO₁, проведём образующие MM₁ и KK₁. Тогда, поскольку KM₁ пересекает ось цилиндра, ось цилиндра лежит в плоскости KMM₁K₁. Таким образом, KM  — диаметр, и, значит, угол KNM прямой. Тогда, по теореме о трёх перпендикулярах, прямая NM₁ также перпендикулярна прямой KN, а треугольник KNM₁ прямоугольный.

б)  Из точки N опустим перпендикуляр NH на прямую KM₁, искомое расстояние  — длина этого перпендикуляра. Найдём её как высоту прямоугольного треугольника KNM₁:

$NM_1= корень из: начало аргумента: N_1M_1 в квадрате плюс NN_1 в квадрате конец аргумента =40,$

$KM_1= корень из: начало аргумента: KN в квадрате плюс NM_1 в квадрате конец аргумента =41,$

откуда

$NH умножить на KM_1=KN умножить на NM_1 равносильно NH= дробь: числитель: KN умножить на NM_1, знаменатель: KM_1 конец дроби = дробь: числитель: 360, знаменатель: 41 конец дроби .$

Ответ: б) $дробь: числитель: 360, знаменатель: 41 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) $дробь: числитель: 360, знаменатель: 41 конец дроби .$

561448

б) $дробь: числитель: 360, знаменатель: 41 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 348

Методы геометрии: Метод площадей, Теорема о трёх перпендикулярах

Классификатор стереометрии: Расстояние от точки до прямой, Цилиндр

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	561448	б) $дробь: числитель: 360, знаменатель: 41 конец дроби .$