Ре­ше­ние. Общая сумма чисел со­став­ля­ет Пусть было n зе­ле­ных кар­то­чек с сум­мой на них S и жел­тых кар­то­чек с сум­мой на них После утро­е­ния сумма чисел на жел­тых кар­точ­ках также утро­и­лась, по­это­му от­ку­да и

Кроме того, можно из­ме­нить числа на кар­точ­ках сле­ду­ю­щим об­ра­зом: если среди чисел на зе­ле­ных кар­точ­ках есть два, от­ли­ча­ю­щих­ся боль­ше чем на 1, можно уве­ли­чить мень­шее из них и умень­шить боль­шее из них на 1  — это не по­вли­я­ет ни на сумму, ни на то, что все числа на жел­тых кар­точ­ках боль­ше, чем все числа на зе­ле­ных. Про­дол­жая такие дей­ствия, можно до­бить­ся того, что числа на зе­ле­ных кар­точ­ках при­ни­ма­ют лишь два со­сед­них на­ту­раль­ных зна­че­ния (пусть это x и тогда по­это­му на самом деле ). Затем будем умень­шать наи­мень­шее из чисел на жел­тых кар­точ­ках и уве­ли­чи­вать наи­боль­шее до тех пор, пока наи­мень­шее не ста­нет равно После этого будем из­ме­нять сле­ду­ю­щее по ве­ли­чи­не, пока оно не ста­нет равно и так далее.

а)  По­сколь­ку будем брать в набор 20 се­ме­рок и 10 ше­сте­рок для за­пи­си на зе­ле­ных кар­точ­ках, а также 8, 9, ..., 56 для за­пи­си на жел­тых. Сумма на жел­тых кар­точ­ках будет равна и на по­след­ней жел­той кар­точ­ке можно будет на­пи­сать

б)  По­сколь­ку будем брать в набор 5 раз по 14 и 10 раз по 13 для за­пи­си на зе­ле­ных кар­точ­ках, а также 15, 16, ...,78 для за­пи­си на жел­тых. Сумма на жел­тых кар­точ­ках будет равна по­это­му со­ста­вить такой набор кар­то­чек нель­зя.

в)  Ясно, что с уве­ли­че­ни­ем числа жел­тых кар­то­чек уве­ли­чи­ва­ет­ся и ми­ни­маль­но воз­мож­ное число (по­сколь­ку сумма мень­ше­го ко­ли­че­ства чисел на зе­ле­ных кар­точ­ках по­сто­ян­на, то при мень­шем их ко­ли­че­стве мак­си­маль­ное из них будет боль­ше), зна­чит, уве­ли­чи­ва­ет­ся и тре­бу­е­мая сумма чисел на жел­тых кар­точ­ках. В то же время она не долж­на пре­взой­ти 2280. Как уже было по­ка­за­но, что для сумма всех жел­тых, кроме одной, равна 1568, а для сумма равна 2976. По­про­бу­ем по­до­брать ответ.

Возь­мем сред­нее между 50 и 65 ко­ли­че­ство  — 57 жел­тых кар­то­чек и 23 зе­ле­ных. На них числа, мак­си­маль­ное из ко­то­рых не мень­ше зна­чит, ми­ни­маль­ная сумма чисел на всех жел­тых, кроме одной, равна и можно до­ба­вить кар­точ­ку с чис­лом 180. Но это уже очень близ­ко к нуж­но­му от­ве­ту.

Про­ве­рим 58 жел­тых кар­то­чек и 22 зе­ле­ных. На них числа, мак­си­маль­ное из ко­то­рых не мень­ше то есть жел­тые кар­точ­ки со­дер­жат числа, не мень­шие 11, зна­чит, ми­ни­маль­ная сумма чисел на всех жел­тых равна по­это­му столь­ко жел­тых кар­то­чек взять нель­зя.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  57.