PDF-версии: 
В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Точка M — середина ребра B1C1, точка N лежит на ребре AC, причем AN : NC = 15 : 1. Катет AC в четыре раза больше бокового ребра AA1 призмы.
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна прямой CA1.
б) Найдите расстояние между прямыми MN и CA1, если AC = 16, 
Решение. а) Рассмотрим треугольник
в нём 
следовательно,
а потому острые углы 
и 
равны. Прямые 
и AC взаимно перпендикулярны. Тогда прямая 
перпендикулярна прямой 
при этом прямая — проекция прямой MN на грань 
(прямая 
перпендикулярна прямой 
а прямая перпендикулярна прямой ). Таким образом, по теореме о трёх перпендикулярах прямая MN перпендикулярна прямой 
б) Из п. а) следует, что плоскость 
перпендикулярна прямой Пусть K — точка пересечения 
и Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их проекциями на плоскость перпендикулярную одной из них.
Таким образом, искомое расстояние есть расстояние от точки K до прямой MN. Из точки K на MN опустим перпендикуляр KH и найдём его из треугольника 
Имеем:
Треугольник CNK подобен треугольнику 
треугольник KNH подобен треугольнику C1MN, следовательно,
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |