PDF-версии: 
В натуральном числе каждая цифра, кроме первой и последней, меньше среднего арифметического соседних с ней цифр.
а) Приведите пример такого четырёхзначного числа.
б) Приведите пример такого шестизначного числа.
в) Найдите наибольшее такое число.
Решение. а) Например, 5115.
б) Например, 931 139.
в) Пусть x, y, z — три цифры этого числа, идущие подряд. Тогда x + z > 2y, откуда 
то есть разности между соседними цифрами уменьшаются. Заметим также, что сумма всех этих разностей равна разности между первой и последней цифрами. Далее, среди этих разностей не может быть 4 положительных (тогда пятая цифра отличалась бы от первой минимум на 1 + 2 + 3 + 4 = 10) или 4 отрицательных. Значит, максимальное число разностей 7, поэтому число не более чем восьмизначное. Такое восьмизначное действительно существует, например 96 433 469.
Заметим, что в оптимальном примере по три положительных и отрицательных разности и еще разность 0. При этом первая цифра не больше 9, вторая не больше 9 − 3 = 6, третья не больше 9 − 3 − 2 = 4, четвертая не больше 9 − 3 − 2 − 1 = 3. Пятая должна быть равна четвертой, шестая не больше 9 − 3 − 2 = 4 (из нее вычитают минимум 
и получают последнюю цифру), аналогично получаем остальные две цифры. Итак, найденный пример оптимален.
Ответ: а) 5115; б) 931 139; в) 96 433 469.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получено обоснованное решение одного любого из пунктов а — г. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |