РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 559576 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 341

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства, Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции, Область определения неравенства

Методы алгебры: Введение замены, Рационализация неравенств. Логарифмы

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 1 меньше или равно логарифм по основанию x в квадрате левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка .$

Решение. Найдём ОДЗ данного неравенства:

$система выражений x больше 0,x не равно 1,2x минус x в квадрате больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше 1,1 меньше x меньше 2. конец совокупности .$

Заметим, что на ОДЗ

$логарифм по основанию x левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка = логарифм по основанию x левая круглая скобка x левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка = логарифм по основанию x x плюс логарифм по основанию x левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка = 1 плюс логарифм по основанию x левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка ,$

а также

$логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате =2 логарифм по основанию x левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка в квадрате =4 логарифм по основанию x левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка .$

Пусть $t= логарифм по основанию x левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка ,$ тогда исходное неравенство принимает вид

$4t плюс 1\leqslant левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка в квадрате равносильно t в квадрате минус 2t\geqslant0 равносильно совокупность выражений t\leqslant0,t\geqslant2. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной и применим метод рационализации. Для неравенства $t\leqslant0$ получаем:

$логарифм по основанию x левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка \leqslant0 равносильно дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм x конец дроби \leqslant0 равносильно система выражений дробь: числитель: 2 минус x минус 1, знаменатель: x минус 1 конец дроби \leqslant0,0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно система выражений x не равно 1,0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше 1,1 меньше x меньше 2. конец совокупности .$ $логарифм по основанию x левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка \leqslant0 равносильно дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм x конец дроби \leqslant0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 2 минус x минус 1, знаменатель: x минус 1 конец дроби \leqslant0,0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно система выражений x не равно 1,0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше 1,1 меньше x меньше 2. конец совокупности .$ $логарифм по основанию x левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка \leqslant0 равносильно дробь: числитель: \lg левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм x конец дроби \leqslant0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 2 минус x минус 1, знаменатель: x минус 1 конец дроби \leqslant0,0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x не равно 1,0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше 1,1 меньше x меньше 2. конец совокупности .$

Заметим, что найденное решение неравенства $t\leqslant0$ совпадает с ОДЗ исходного неравнства, а потому все числа из ОДЗ являются решениями, а значит, иных решений неравенство $t больше или равно 2$ не дает.

Ответ: $левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка$

559576

$левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 341

Методы алгебры: Введение замены, Рационализация неравенств. Логарифмы

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	559576	$левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка$