PDF-версии: 
Известно, что квадратное уравнение вида x2 + mx + k = 0 имеет два различных натуральных корня.
а) Найдите все возможные значения k при m = −6.
б) Найдите все возможные значения m при 
в) Найдите все возможные значения корней уравнения, если k2 − m2 = 2236.
Решение. Комментарий к условию задачи: в условии задачи ничего не сказано про то, какими являются коэффициенты m и k квадратного трехчлена. Исходя из авторских ответов, ниже приведены решения для случая, когда m и k — целые числа.
Пусть корни равны a и b. По теореме Виета, 
и ab = k.
а) Число 6 можно записать в виде суммы двух различных натуральных слагаемых двумя способами 6 = 1 + 5 = 2 + 4, тогда k = 5 или k = 8.
б) Перепишем уравнение в виде ab + a + b = 45, то есть ab + a + b + 1 = 46, (a + 1)(b + 1) = 46. Оба множителя — натуральные числа, не меньшие двух, поэтому они равны 23 и 2. Значит, числа a и b равны 22 и 1, а тогда m = −(1 + 22) = −23.
в) Запишем уравнение в виде 
Числа 
и k + m имеют одинаковую четность, поэтому они оба четны. При этом первое число больше (поскольку m < 0). Значит, либо 
k + m = 26, откуда m = −30, k = 56 и уравнение x2 − 30x + 56 = 0 имеет корни 2 и 28, либо 
k + m = 2, откуда m = −558, k = 560 и уравнение x2 − 558x + 560 = 0 не имеет натуральных корней.
Ответ: а) 5 или 8; б) −23; в) 2 и 28.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получено обоснованное решение одного любого из пунктов а — в. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |