РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 559269 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 340

Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа

а)  Решите уравнение $левая круглая скобка 2 корень из 3 синус левая круглая скобка Пи x плюс 3 Пи правая круглая скобка минус тангенс левая круглая скобка Пи x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка =0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 1; 2 правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Применим формулы приведения, получим:

$левая круглая скобка минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус Пи x плюс \ctg Пи x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка =0$

Область определения уравнения: $D = левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка .$ На этой области произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$совокупность выражений минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус Пи x плюс дробь: числитель: косинус Пи x, знаменатель: синус Пи x конец дроби =0, логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка =0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате Пи x минус косинус Пи x=0, 4 минус x в квадрате = 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате Пи x плюс косинус Пи x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =0, x в квадрате =3 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус Пи x= дробь: числитель: минус 1\pm7, знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби , x=\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус Пи x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , x=\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец совокупности . равносильно совокупность выражений Пи x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x=\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби плюс 2k, x=\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , конец совокупности . k принадлежит Z .$ $совокупность выражений минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус Пи x плюс дробь: числитель: косинус Пи x, знаменатель: синус Пи x конец дроби =0, логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка =0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате Пи x минус косинус Пи x=0, 4 минус x в квадрате = 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате Пи x плюс косинус Пи x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =0, x в квадрате =3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус Пи x= дробь: числитель: минус 1\pm7, знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби , x=\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус Пи x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , x=\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец совокупности . равносильно совокупность выражений Пи x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x=\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби плюс 2k, x=\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , конец совокупности . k принадлежит Z .$ $совокупность выражений минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус Пи x плюс дробь: числитель: косинус Пи x, знаменатель: синус Пи x конец дроби =0, логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка =0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате Пи x минус косинус Пи x=0, 4 минус x в квадрате = 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате Пи x плюс косинус Пи x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =0, x в квадрате =3 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус Пи x= дробь: числитель: минус 1\pm7, знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби , x=\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус Пи x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , x=\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений Пи x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x=\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби плюс 2k, x=\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , конец совокупности . k принадлежит Z .$ $совокупность выражений минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус Пи x плюс дробь: числитель: косинус Пи x, знаменатель: синус Пи x конец дроби =0, логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка =0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате Пи x минус косинус Пи x=0, 4 минус x в квадрате = 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате Пи x плюс косинус Пи x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =0, x в квадрате =3 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус Пи x= дробь: числитель: минус 1\pm7, знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби , x=\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус Пи x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , x=\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений Пи x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x=\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби плюс 2k, x=\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , конец совокупности . k принадлежит Z .$

В ОДЗ лежат числа $x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ,$ $x=\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $x=\pm дробь: числитель: 11, знаменатель: 6 конец дроби .$

б)  Заметим, что:

$минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 6 конец дроби меньше минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента меньше минус 1 меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби меньше корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента меньше дробь: числитель: 11, знаменатель: 6 конец дроби меньше 2.$

Поэтому на отрезке $левая квадратная скобка минус 1; 2 правая квадратная скобка$ лежат числа $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ,$ $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $дробь: числитель: 11, знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: a) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ;\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ;\pm дробь: числитель: 11, знаменатель: 6 конец дроби правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ,$ $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $дробь: числитель: 11, знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

559269

a) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ;\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ;\pm дробь: числитель: 11, знаменатель: 6 конец дроби правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ,$ $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $дробь: числитель: 11, знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 340

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	559269	a) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ;\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ;\pm дробь: числитель: 11, знаменатель: 6 конец дроби правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ,$ $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $дробь: числитель: 11, знаменатель: 6 конец дроби .$