ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 556598 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при каждом из которых система

$система выражений |x минус a| плюс 2|y минус a|=5,xy минус x минус y плюс 1=0 конец системы .$

имеет ровно три различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Первое уравнение задаёт на координатной плоскости ромб с диагоналями 10 и 5, параллельными осям Ox и Oy соответственно, и с центром в точке $левая круглая скобка a;a правая круглая скобка .$ Второе уравнение задаёт две прямые $x = 1$ и $y =1.$

Система имеет ровно три решения в одном из двух случаев: либо одна из прямых пересекает ромб в двух точках, а вторая проходит через только одну из его вершин, либо точка пересечения прямых лежит на стороне ромба, но не в его вершине. Рассмотрим эти случаи по отдельности.

1.  Если нижняя или верхняя вершина лежит на прямой $y=1,$ то $a=1 плюс 2,5=3,5$ или $a=1 минус 2,5= минус 1,5.$ Центр ромба удалён от прямой $x = 1$ на 2,5, поэтому прямая $x = 1$ пересекает ромб в двух точках

Если левая или правая вершина лежит на прямой $x=1,$ то $a=1 плюс 5=6$ или $a=1 минус 5= минус 4,$ а центр ромба удалён от прямой $y =1$ на 5, поэтому прямая $y =1$ не пересекает ромб.

2.  Точка пересечения прямых не должна совпасть с вершиной ромба, то есть $a не равно 1.$ Подставим $x = 1,$ $y =1$ в уравнение:

$3|a минус 1|=5 равносильно совокупность выражений a= дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби ,a= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби . конец совокупности .$

Оба значения удовлетворяют условию $a не равно 1,$ а потому при каждом из этих значений a система имеет ровно три решения.

Ответ: −1,5; $минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби ;$ 3,5.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 556590: 556598 Все

Классификатор алгебры: Комбинация прямых, Системы с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь