PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых система
имеет ровно три различных решения.
Решение. Первое уравнение задаёт на координатной плоскости ромб с диагоналями 10 и 5, параллельными осям Ox и Oy соответственно, и с центром в точке
Второе уравнение задаёт две прямые 
и 
Система имеет ровно три решения в одном из двух случаев: либо одна из прямых пересекает ромб в двух точках, а вторая проходит через только одну из его вершин, либо точка пересечения прямых лежит на стороне ромба, но не в его вершине. Рассмотрим эти случаи по отдельности.
1. Если нижняя или верхняя вершина лежит на прямой 
то 
или 
Центр ромба удалён от прямой на 2,5, поэтому прямая пересекает ромб в двух точках
Если левая или правая вершина лежит на прямой 
то 
или 
а центр ромба удалён от прямой 
на 5, поэтому прямая не пересекает ромб.
2. Точка пересечения прямых не должна совпасть с вершиной ромба, то есть 
Подставим 
в уравнение:
Оба значения удовлетворяют условию 
а потому при каждом из этих значений a система имеет ровно три решения.
Ответ: −1,5; 
3,5.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной | 2 |
| Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
3,5. 3,5.