PDF-версии: 
Точка M середина ребра AB правильного тетраэдра DABC.
а) Докажите, что ортогональная проекция точки M на плоскость ACD лежит на медиане AP грани ACD.
б) Найдите угол между прямой DM и плоскостью ACD.
Решение. а) Рассмотрим проекцию B' вершины тетраэдра B на плоскость ACD. Тетраэдр правильный, поэтому точка B' является центром грани ACD и лежит на медиане AP. Следовательно, проекция ребра AB будет отрезок AB' — часть медианы AP. Точка M' — проекция точки M — является серединой отрезка AB' и делит медиану AP в отношении
б) Проекцией DM на грань ACD является DM', поэтому искомый угол равен углу MDM'. Найдем его из треугольника MDM'. Обозначим ребро тетраэдра 2a. Тогда
Найдем высоту тетраэдра:
Точка M — середина AB, поэтому MM' равна 
Найдем синус угла MDM':
следовательно, 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |