PDF-версии: 
Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. На катете АС взята точка М. Окружность с центром О и диаметром СМ касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и ВО параллельны.
б) Найдите площадь четырехугольника BOMN, если CN = 8, AM : MC = 1 : 3.
Решение. а) Отрезки ON и AB перпендикулярны, значит, четырехугольник CONB вписан в окружность. Поэтому углы NBO и NCO равны как вписанные, которые опираются на одну дугу. Углы ANM и NCO равны как углы между касательной и хордой. Поэтому углы NBO и ANM равны, и потому прямые MN и BO параллельны.
б) Отрезки AM и MC относятся как 1 к 3. Пусть отрезок AM равен 2x, а отрезки MO, ON и OC равны 3x. Воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника OAN:
Пусть длины отрезков BC и BN равны y, тогда 
отсюда 
Выразим площадь четырехугольника BCON:
Найдем площадь искомого четырехугольника:
Ответ: б) 28.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |