PDF-версии: 
Последовательность a1, a2, a3, ... состоит из натуральных чисел, причем an+2 = an+1 + an при всех натуральных n.
а) Может ли выполняться равенство 
б) Может ли выполняться равенство 
в) При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство 
Решение. Обозначим первые два члена последовательности a и b соответственно. Тогда 
а) Условие равносильно тому, что 
то есть 
Значит, для последовательности, например, 3, 1, 4, 5, 9 оно будет выполнено.
б) Условие равносильно тому, что 
то есть 
что невозможно.
в) Пусть 
Тогда 
Уравнение примет вид
Поскольку при 
справедливы оценки
при это равенство выполняться не может.
При 
получаем 
то есть 
Значит, 
и 
При 
получаем 
то есть 
Значит, 
и 
Выбрав, например, 
получим последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., удовлетворяющую условию при 
Ответ: а) да; б) нет; в) 5.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение пункта а; ― обоснованное решение пункта б; ― оценка в пункте в; ― пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |