Ре­ше­ние. а)  От­рез­ки CK и CM яв­ля­ют­ся от­рез­ка­ми ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных из точки C к окруж­но­сти с цен­тром в O, сле­до­ва­тель­но, они равны, зна­чит, равны углы CKM и CMK. От­рез­ки AM и AP равны, по­сколь­ку яв­ля­ют­ся ра­ди­у­са­ми окруж­но­сти с цен­тром в точке A. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник PAM рав­но­бед­рен­ный, углы APM и AMP при его ос­но­ва­нии равны. Углы AMP и KMC равны как вер­ти­каль­ные, а углы KMC и CMK равны как углы при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка CMK.

Итак,

а по­то­му пря­мые AP и BC па­рал­лель­ны.

б)   От­рез­ки BK и BL равны, обо­зна­чим их длины x. Тогда

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков BKQ и APQ сле­ду­ет:

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке APQ:

Далее, AO яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла BAC, а угол OAT по усло­вию равен по­ло­ви­не угла BAP, по­это­му AT  — бис­сек­три­са угла Тре­уголь­ник MAP рав­но­бед­рен­ный, по­это­му AT пер­пен­ди­ку­ляр­но Те­перь, ис­поль­зуя по­до­бие тре­уголь­ни­ков QAP и QTA, по­лу­ча­ем:

Ответ: б)