Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 549036

Найдите все значения параметра a, при которых система

 система выражений корень из 16 минус y в квадрате = корень из 16 минус левая круглая скобка ax правая круглая скобка в квадрате ,x в квадрате плюс y в квадрате = 8x плюс 4y конец системы .

имеет ровно два различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что при |y| больше 4 левая часть первого уравнения системы не определена, а при  минус 4 меньше или равно y меньше или равно 4 первое уравнение системы принимает вид:

16 минус y в квадрате =16 минус a в квадрате x в квадрате ,

откуда y =ax,y= минус ax.

При y = ax второе уравнение системы принимает вид:

x в квадрате плюс a в квадрате x в квадрате =8x плюс 4ax,

откуда x=0,x= дробь: числитель: 4a плюс 8, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби . В этих случаях получаем, что y=0 и y= дробь: числитель: 4a в квадрате плюс 8a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби соответственно.

При y = −ax второе уравнение системы принимает вид:

x в квадрате плюс a в квадрате x в квадрате =8x минус 4ax,

откуда x=0,x= дробь: числитель: 8 минус 4a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби . В этих случаях получаем, что y=0 и y= дробь: числитель: 4a в квадрате минус 8a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби соответственно.

Таким образом, решениями исходной системы являются пары чисел (0;0);  левая круглая скобка дробь: числитель: 4a плюс 8, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби ; дробь: числитель: 4a в квадрате плюс 8a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби правая круглая скобка , левая круглая скобка дробь: числитель: 8 минус 4a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби ; дробь: числитель: 4a в квадрате минус 8a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби правая круглая скобка для которых выполнено условие  минус 4 меньше или равно y меньше или равно 4.

Для пары (0;0) условие  минус 4 меньше или равно y меньше или равно 4 выполнено.

Для пары  левая круглая скобка дробь: числитель: 4a плюс 8, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби ; дробь: числитель: 4a в квадрате плюс 8a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби правая круглая скобка условие  минус 4 меньше или равно y меньше или равно 4 принимает вид:

 минус 4 меньше или равно дробь: числитель: 4a в квадрате плюс 8a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби меньше или равно 4 ; система выражений 2a в квадрате плюс 2a плюс 1 больше или равно 0,2a минус 1\leqslant0, конец системы .

откуда a меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Для пары  левая круглая скобка дробь: числитель: 8 минус 4a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби ; дробь: числитель: 4a в квадрате минус 8a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби правая круглая скобка условие  минус 4 меньше или равно y меньше или равно 4принимает вид:

 минус 4 меньше или равно дробь: числитель: 4a в квадрате минус 8a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби меньше или равно 4; система выражений 2a в квадрате минус 2a плюс 1 больше или равно 0,2a плюс 1 больше или равно 0, конец системы .

откуда a больше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Пары (0;0) и  левая круглая скобка дробь: числитель: 4a плюс 8, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби ; дробь: числитель: 4a в квадрате плюс 8a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби правая круглая скобка совпадают a= минус 2.

Пары (0;0) и  левая круглая скобка дробь: числитель: 8 минус 4a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби ; дробь: числитель: 4a в квадрате минус 8a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби правая круглая скобка совпадают a=2.

Пары  левая круглая скобка дробь: числитель: 4a плюс 8, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби ; дробь: числитель: 4a в квадрате плюс 8a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби правая круглая скобка и  левая круглая скобка дробь: числитель: 8 минус 4a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби ; дробь: числитель: 4a в квадрате минус 8a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби правая круглая скобка совпадают a = 0.

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два различных решения при a меньше минус 2; минус 2 меньше a меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; a=0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше 2; a больше 2.

 

Ответ:  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 2; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной 2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: ЕГЭ по математике. Вариант 313