PDF-версии: 
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 8, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = 2, SK = 1.
а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
б) Найдите объём пирамиды BCKM.
Решение. а) Пусть прямые BD и СM пересекаются в точке H. Рассмотрим квадрат ABCD. Треугольники MHB и CHD подобны по двум углам. Получаем:
Пусть SO — высота пирамиды SABCD. Тогда, поскольку пирамида SABCD правильная, центр квадрата ABCD совпадает с точкой О. Значит, прямая SO лежит в плоскости SBD.
В треугольнике SOB имеем:
Следовательно, прямые КН и SO параллельны. Получаем, что прямая КН перпендикулярна плоскости АВС. Значит, содержащая прямую КН плоскость СКМ перпендикулярна плоскости АВС.
б) Пусть h — высота пирамида ВСКМ, проведённая из вершины К. В треугольнике SOB имеем:
Площадь треугольника ВСМ равна
Объём пирамиды ВСКМ равен
Ответ: б) 
Приведем решение пункта а) Ирины Шарго.
Пусть прямые BD и СM пересекаются в точке H. Пусть точка O — центр основания пирамиды. Тогда для треугольника AOB по теореме Менелая получим:
В треугольнике SOB имеем:
Следовательно, прямые КН и SO параллельны. Получаем, что прямая КН перпендикулярна плоскости АВС. Значит, содержащая прямую КН плоскость СКМ перпендикулярна плоскости АВС.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |