PDF-версии: 
На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно, причём AC1 : C1B = 8 : 3, BA1 : A1C = 1 : 2, CB1 : B1A = 3 : 1. Отрезки BB1 и CC1 пересекаются в
а) Докажите, что ADA1B1 — параллелограмм.
б) Найдите CD, если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC = 28, BC = 18.
Решение. а) По теореме Менелая
Имеем: 
следовательно, треугольники 
и 
подобны по второму признаку, откуда 
и 
Но по условию 
поэтому отрезки 
и 
равны и параллельны, а значит, 
— параллелограмм по признаку параллелограмма.б) Пусть Q — точка пересечения прямых AD и BC. По теореме Чевы
откуда 
а тогда 
По теореме Пифагора в треугольнике AQC имеем: 
По теореме Менелая
откуда 
Тогда 
и по теореме Пифагора для треугольника DQC находим 
Ответ: б) 17.
Замечание. Некоторые читатели недооценивают теоремы Менелая и Чевы, другие считают их «хитроумными»; многие полагают, что эти теоремы излишни в курсе планиметрии. Укажем, как обойтись без этих теорем.
Приведём другое решение.
а) Пусть точка O, лежащая на стороне АВ такова, что отрезок 
параллелен 
Тогда по обобщенной теореме Фалеса, примененной к отрезкам 
и параллельным прямым и 
получаем: 
Пусть 
тогда из полученного соотношения находим, что 
Снова применим обобщенную теорему Фалеса — для отрезков 
и параллельных прямых
Получим: 
Значит, точка D делит отрезок BB1 так же, как точка А1 делит ВС. По теореме, обратной обобщенной теореме Фалеса, из этого следует параллельность прямых DA1 и B1C, а также подобие треугольников BDA1 и BB1C.
Пусть B1C = 3z, тогда в силу подобия 
Но по условию 
следовательно, 
Таким образом, противоположные стороны 
и четырехугольника не только параллельны, но и равны. Таким образом, этот четырехугольник — параллелограмм.
б) Из условия получаем, что 
Четырехугольник — параллелограмм, поэтому 
По теореме Фалеса для отрезков и параллельных прямых AQ и 
получаем: 
откуда 
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике 
находим 
По теореме Пифагора в треугольнике DQC вычисляем
Приведем решение Анны Букиной (Иркутск).
а) Через вершину В проведем прямую OM, параллельную AC, и введем обозначения, как показано на рисунке. Треугольники OC1B и AC1C подобны по двум углам, поэтому
Треугольники OBD и DB1C подобны по двум углам, поэтому
следовательно, треугольники BDA1 и BB1C подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, тогда
DA1 || B1C, 
откуда 
то есть противоположные стороны и четырехугольника параллельны и равны. Тем самым этот четырехугольник — параллелограмм.
б) Заметим, что треугольник 
прямоугольный с гипотенузой 
и катетом 
а потому 
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°, поэтому
Применим теорему косинусов к треугольнику 
имеем:
а значит, CD = 17.
Приведем решение пункта б) Даниила Шумайлова.
Пусть Q — точка пересечения прямых AD и BC. По доказанному в пункте а) прямая AQ параллельна прямой A1B1, следовательно, треугольники AQC и A1B1C подобны по двум углам с коэффициентом подобия 
Получаем:
Из прямоугольного треугольника A1B1C находим:
тогда 
Из прямоугольного треугольника DQC имеем:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |