На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 4 до 27 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 12?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?
в) Помимо полученных разностей соседних чисел, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности (соседних чисел и чисел, стоящих через одно) были не меньше k?
а) При любой расстановке разность числа 16 и одного из соседних с ним чисел меньше 12. Значит, всегда найдётся хотя бы одна разность меньше 12.
б) Например, для расстановки 4, 16, 5, 17, 6, 18, 7, 19, 8, 20, 9, 21, 10, 22, 11, 23, 12, 24, 13, 25, 14, 26, 15, 27 все разности не меньше 11.
в) Оценим значение k. Рассмотрим числа от 4 до 11. Если какие-то два из них стоят рядом или через одно, то найдётся разность меньше 8. Иначе они стоят через два, поскольку всего чисел 24. В этом случае число 12 стоит рядом или через одно с каким-то числом от 5 до 11 и найдётся разность меньше 8.
Таким образом, всегда найдётся разность меньше 8. Все разности могут быть не меньше 7. Например, для расстановки 4, 12, 20, 5, 13, 21, 6, 14, 22, 7, 15, 23, 8, 16, 24, 9, 17, 25, 10, 18, 26, 11, 19, 27 все разности не меньше 7.
Ответ: а) нет; б) да; в) 7.