PDF-версии: 
Натуральное число А таково, что если его первую цифру переставить на последнее место, получится число, в n > 1 раз меньше числа А.
а) Существует ли двухзначное число А, удовлетворяющее указанным условиям?
б) Найдите наименьшее число А, удовлетворяющее указанным условиям, если n = 5, а число А начинается с цифры 7.
в) Приведите пример числа, которое при перестановке его первой цифры на последнее место увеличивается в 3 раза.
Решение. Видимо, подразумевается, что число n — натуральное, иначе подойдет любое двузначное число, у которого вторая цифра меньше первой. Кроме того, наверное, после перестановки цифры число должно остаться двузначным, иначе подходят числа 10, 20, 30, ..., 90.
а) Допустим, цифры полученного числа равны b и a. Ясно, что 
(иначе число вообще не уменьшится). Тогда 
то есть 
Возможны следующие случаи.
1. Число 
кратно 9, тогда 
что невозможно. Число не может уменьшаться в 10 и более раз от перестановки цифр, ведь число цифр остается постоянным.
2. Число 
кратно 9. Тогда и 
отличающееся только порядком цифр, кратно 9. Перебирая числа 81, 72, 63, 54, убеждаемся, что они не подходят.
3. Числа и кратны 3. Тогда 
и потому 
(иначе 
). Значит, 
или 
Перебирая кратные 3 числа с такой последней цифрой (21, 51, 81, 12, 42, 72), убеждаемся, что они не подходят.
б) Пусть в числе A ровно 
цифра, первая из которых семерка. Обозначим 
— число, образованное прочими его цифрами. По условию 
откуда 
и 
Значит, 
кратно 7. Перебором убеждаемся, что наименьшее такое x это 5, при этом 
и требуемое число равно 
в) Аналогично предыдущему пункту получаем уравнение 
откуда 
поэтому 
кратно 29. Можно убедиться, что 
подходит, поэтому
и
подойдет.
Есть и другие способы нахождения такого числа. Например, пусть 
Тогда 
откуда 
Левая часть полученного равенства делится на 7, поэтому должна делиться и правая. При 
равенство невозможно, поскольку B это k-значное число, а число 
является (k + 1)-значным. Следовательно, оно и кратно семи. Проверяя 
находим, что при 
равенство принимает вид 
откуда 
Полагая 
получаем один из примеров: 
(заметим, кстати, что это знаменитое круговое число).
Ответ: a) нет (при сделанных вначале оговорках), б) 714 285, в) 7 241 379 310 344 827 586 206 896 551 или 142 857.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |