Ре­ше­ние. а)  Через точку D про­ве­дем плос­кость DEF па­рал­лель­ную ABC, и точка Е яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра АА₁, а точка F  — се­ре­ди­на ребра BB₁. Пусть плос­кость DEF пе­ре­се­ка­ет AB₁ в точке M. Тогда, так как FE  — сред­няя линия ABB₁A₁, то M яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной AB₁, сле­до­ва­тель­но, M  — се­ре­ди­на FE. Тогда DM  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка DEF и пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков DEF и DEM равны. Кроме этого B₁F  =  AE, зна­чит, объ­е­мы AMDE и B₁DFM равны. Оче­вид­но, что плос­кость DEF раз­би­ва­ет приз­му на две фи­гу­ры рав­но­го объ­е­ма, зна­чит, объем ABCDEF равен объ­е­му фи­гу­ры DEFA₁B₁C₁.

Вы­чис­лим:

Это озна­ча­ет, что равен по­ло­ви­не объ­е­ма приз­мы. А это и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Так как плос­кость DEF па­рал­лель­на плос­ко­сти ABC, будем ис­кать угол между ней и плос­ко­стью ADB₁. Они пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой DM, ко­то­рая яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной и вы­со­той в тре­уголь­ни­ке DEF. Зна­чит, пря­мая FE пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой DM по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах и B₁A пер­пен­ди­ку­ляр­на DM. Таким об­ра­зом, угол B₁MF  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла. Далее имеем:

Сле­до­ва­тель­но, от­ку­да

Ответ: б)