РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д18 C7 № 547307 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 316. (Часть C)

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Натуральное число, являющееся полным квадратом, обладает следующим свойством: если все его цифры уменьшить на одно и то же натуральное число, то получится число, также являющееся полным квадратом.

а)  Приведите пример двухзначного числа, обладающего указанным свойством.

б)  Найдите все двухзначные числа, обладающие указанным свойством.

в)  Найдите все четырехзначные числа, обладающие указанным свойством.

Решение. а)  Подходит, например, 49, которое можно превратить в 16.

б)  Переберем все двузначные квадраты: 16, 25, 36, 49, 64, 81. Очевидно, что при описанных действиях сохраняются разности между цифрами. Вычислим их: $1 минус 6= минус 5,$ $2 минус 5= минус 3,$ $3 минус 6= минус 3,$ $4 минус 9= минус 5,$ $6 минус 4=2,$ $8 минус 1=7.$ Отсюда ясно, что 36 можно превратить в 25, а 49 в 16, и других вариантов нет.

в)  Пусть у числа $x в квадрате$ уменьшают каждую цифру на a и получают $y в квадрате .$ Тогда имеем:

$x в квадрате минус 1111a=y в квадрате равносильно x в квадрате минус y в квадрате =1111a равносильно левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =11 умножить на 101 умножить на a$

Значит, один из множителей левой части кратен 101. Поскольку x и y двузначные числа (их квадраты четырехзначны), то единственная возможность  — случай, когда $x плюс y=101.$ Отсюда следует, что x и y  — числа разной четности и разность $x минус y=11a$   — нечетное число. Поэтому a  — тоже нечетно. Разберем варианты:

$a=1,$ $x минус y=11,$ $x плюс y=101,$ откуда $x=56,$

$y=45$ и $56 в квадрате =3136,$ $45 в квадрате =2025,$ условие выполнено.

$a=3,$ $x минус y=33,$ $x плюс y=101,$ откуда $x=67,$

$y=34$ и $67 в квадрате =4489,$ $34 в квадрате =1156,$ условие выполнено.

$a=5,$ $x минус y=55,$ $x плюс y=101,$ откуда $x=78,$

$y=23$ и $23 в квадрате =529 меньше 1000,$ условие не выполнено.

При увеличении a будет уменьшаться $y= дробь: числитель: 101 минус 11a, знаменатель: 2 конец дроби ,$ поэтому прочие варианты невозможны.

Ответ: а) 49; б) 36,49; в) 3136 и 4489.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: а) 49; б) 36,49; в) 3136 и 4489.

547307

а) 49; б) 36,49; в) 3136 и 4489.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 316. (Часть C)

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	547307	а) 49; б) 36,49; в) 3136 и 4489.